[Risolto] Gerarchie di inifiniti e limiti notevoli.

Analisi preliminare:

* √x: Quando x tende a 0 da destra, √x tende a 0.

* ln(x): Quando x tende a 0 da destra, ln(x) tende a -∞.

Abbiamo quindi una forma indeterminata del tipo 0 * (-∞).

Risoluzione:

Per risolvere questa forma indeterminata, possiamo riscrivere l'espressione come un rapporto:

lim_(x→0^+) ln(x) / (1/√x)

Ora abbiamo una forma indeterminata del tipo ∞/∞, che possiamo risolvere applicando la regola di de l'Hôpital:

lim_(x→0^+) [d/dx ln(x)] / [d/dx (1/√x)]

Calcolando le derivate:

lim_(x→0^+) (1/x) / (-1/2√x^3)

Semplificando:

lim_(x→0^+) -2√x

Ora il limite è semplice da calcolare:

lim_(x→0^+) -2√x = 0

Quindi, il risultato del limite è 0.

Conclusione:

lim_(x→0^+) √x * ln(x) = 0

Riscriviamo il limite  della funzione come 

$ = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{x\cdot ln x}{\sqrt{x}} = $

Sappiamo che l'ordine di infinitesimo di xln x è superiore sia a x che a √x

$ \sqrt{x} \ll x \ll x\,lnx $

per la gerarchia di ordine di infinito si avrà

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{x\cdot ln x}{\sqrt{x}} = 0 $