Gerarchie di inifiniti e limiti notevoli.

Io  farei così con questo limite proposto ( non sono certa però ):

lim_(x->+∞) (ln(x) - √x)

Analisi iniziale:

* Comportamento all'infinito: Sia il logaritmo naturale (ln(x)) che la radice quadrata (√x) tendono a infinito quando x tende a infinito. Tuttavia, la radice quadrata cresce più velocemente del logaritmo.

* Forma indeterminata: Abbiamo una forma indeterminata del tipo ∞ - ∞.

Strategia:

Per risolvere questo tipo di forme indeterminate, una strategia comune è quella di riarrangiare l'espressione o utilizzare la regola di de l'Hôpital. In questo caso, riarrangiare l'espressione è più semplice.

Risoluzione:

* Riorganizzazione:

   Possiamo riscrivere l'espressione come una frazione:

   lim_(x->+∞) (ln(x) - √x) = lim_(x->+∞) (ln(x) / √x - 1)

* Applicazione della regola di de l'Hôpital:

   Ora abbiamo una forma indeterminata del tipo ∞/∞, che è una condizione per applicare la regola di de l'Hôpital. Derivando numeratore e denominatore otteniamo:

   lim_(x->+∞) (1/x) / (1/2√x) = lim_(x->+∞) (2√x) / x = lim_(x->+∞) (2/√x)

* Calcolo del limite:

   Quando x tende a infinito, il denominatore √x diventa sempre più grande, quindi la frazione tende a zero.

   lim_(x->+∞) (2/√x) = 0

Conclusione:

Quindi, il limite del nostro problema iniziale è:

lim_(x->+∞) (ln(x) - √x) = 0

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} ln x - \sqrt{x} = $

Applichiamo la gerarchia di infiniti.

Sappiamo che le potenze hanno un ordine di infinito superiore ai logaritmi, cioè

$ \sqrt{x} \gg ln x $

quindi trascurando gli infiniti di ordine inferiore

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} - \sqrt{x} = -\infty $ 

quindi