[Risolto] Geometria solida nello spazio

Per "giustificare con i calcoli" conviene considerare i segmenti orientati (con verso irrilevante) e trattarli come vettori.
Il triangolo è rettangolo se e solo se c'è un prodotto scalare nullo fra i suoi lati.
L'area del triangolo è metà del modulo del prodotto vettoriale fra due suoi lati.
Il volume del tetraedro, come di qualsiasi piramide, è un terzo del prodotto fra l'area del triangolo di base per la distanza dal suo piano del quarto vertice.
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A) Generalità
Vertici: A(2, - 2, 1), B(6, 0, - 3), O(0, 0, 0), V(2, 4, 4)
Piano AOB: α ≡ z = - x/2 - y
Distanza da α a V: |Vα| = h = 6
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B) Triangolo AOB
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* o.a = (4, 2, - 4).(- 6, 0, 3) =
B1) Lati-vettori
* AB ≡ o = B - A = (6, 0, - 3) - (2, - 2, 1) = (4, 2, - 4); |o| = 6
* BO ≡ a = O - B = (0, 0, 0) - (6, 0, - 3) = (- 6, 0, 3); |a| = 3*√5
* OA ≡ b = A - O = (2, - 2, 1) - (0, 0, 0) = (2, - 2, 1); |b| = 3
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B2) Prodotti scalari
* a.b = (- 6, 0, 3).(2, - 2, 1) = - 9
* b.o = (2, - 2, 1).(4, 2, - 4) = 0
* o.a = (4, 2, - 4).(- 6, 0, 3) = - 36
I vettori (b, o) sono ortogonali, quindi vale la relazione pitagorica
* |b|^2 + |o|^2 = |a|^2 ≡ 3^2 + 6^2 = (3*√5)^2 = 45
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B3) L'area del triangolo rettangolo AOB è il semiprodotto dei cateti
* S(AOB) = |b|*|o|/2 = 3*6/2 = 9
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C) Volume di AOBV: h*S(AOB)/3 = 6*9/3 = 18