Geometria: Risoluzione di un sistema lineare dipendente da un parametro 𝑘

La matrice dei coefficienti A risulta essere

• $ A = \begin{pmatrix} 1-k & 0 & k+1 & 1\\k & k & k & 0\\1-2k & 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

il cui rango vale 2. rank(A) = 2

La matrice completa C risulta essere

• $ C = \begin{pmatrix} 1-k & 0 & k+1 & 1 & k-1\\k & k & k & 0 & k\\1-2k & 2 & 1 & -1 & 1+k\end{pmatrix}$

.

il cui rango vale 2. rank(C) = 2

Possiamo così affermare, per il teorema di Rouché-Capelli che il sistema è possibile, per ogni valore reale assegnato a k.

.

Verifichiamo per quali valori di k è determinato.

-) Il numero delle incognite m = 5

-) il rango è pari a 2

quindi si hanno 5-2 = 3 variabili libere. Scegliamo $x_1$, $x_2$ e $x_4$

$ x_1 = x_1 ; \, x_2 = x_2; \, x_4 = x_4$

per cui dalla prima equazione ricaviamo

$ (k-1) x_3 = (k-1)x_1 - x_4 +k-1$

dobbiamo considerare due casi

1. Se k = 1 allora $x_4 = 0$
2. Se k ≠ 1 allora

$x_3 = \frac{(k-1)x_1 - x_4 +(k-1)}{k-1}$

Conclusione. Il sistema dato è possibile e determinato per ogni valore reale di k.

• Se al parametro k attribuiamo il valore 1 allora $x_4 = 0$ è la soluzione e vale per ogni valore reale attribuito alle variabili $x_1, x_2, x_3$
• Se k è diverso da 1 allora la soluzione $x_3 = \frac{(k-1)x_1 - x_4 +(k-1)}{k-1}$ è valida per ogni valore reale attribuito alle variabili $x_1, x_2, x_4$

Dal momento che la scrittura in linea non è adatta a manipolare simboli pluricarattere uso le variabili {k, x, y, z, w} al posto delle originali {k, x1, x2, x3, x4} e uso "&" in linea al posto della graffa plurilinea.
Il sistema
* ((1 - k)*x + (k - 1)*z + w = - (k - 1)) & (k*x + k*y + k*z = k) & ((1 - 2*k)*x + 2*y + z - w = 1 + k)
ha tre equazioni in cinque variabili, delle quali solo una è dichiarata parametro: però la soluzione ha almeno due gradi di libertà e non solo quello di k.
La soluzione simbolica in {x, y, z} è, con w come secondo parametro,
* (x = (2 - k)*(k + w - 1)/(2*(k^2 - 1))) & (y = (k*(3*k + 2*w - 3) - w)/(k^2 - 1)) & (z = - 3*k*(k + w - 1)/(2*(k^2 - 1))) & (k^2 != 1)
da cui si leggono i casi notevoli.
a) k = ± 1: sistema impossibile
b) k = 0: (x = 1) & (y = 0) & (z = 0): soluzione determinata
b) k = 1 - w: (x = 0) & (y = 1) & (z = 0): soluzione determinata
c) k = 2: (x = 0) & (y = w + 2) & (z = - (w + 1)): soluzione indeterminata
c) k = (3 - 2*w ± √(4*w^2 + 9))/6: (x = (k - 2)/(2*(2*k - 1))) & (y = 0) & (z = 3*k/(2*(2*k - 1))): soluzione indeterminata