[Risolto] Geometria problema

In un rombo di perimetro 272 cm le diagonali sono una 8/15 dell'altra e la loro somma misura 184 cm. Calcola la misura dell'altezza.

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Lato $l= \dfrac{2p}{4} = \dfrac{272}{4} = 68\,cm;$

somma (184 cm) e rapporto (8/15) tra le diagonali, quindi:

diagonale minore $d= \dfrac{184}{8+15}×8 = \dfrac{\cancel{184}^8}{\cancel{23}_1}×8 = 8×8 = 64\,cm;$ 

diagonale maggiore $D= \dfrac{184}{8+15}×15 = \dfrac{\cancel{184}^8}{\cancel{23}_1}×15 = 8×15 = 120\,cm;$ 

area $A= \dfrac{D×d}{2} = \dfrac{120×\cancel{64}^{32}}{\cancel2_1} = 120×32 = 3840\,cm^2;$

altezza $h= \dfrac{A}{l} = \dfrac{3840}{68} \approx{56,47}\,cm.$

In un rombo di perimetro 272 cm le diagonali sono una 8/15 dell'altra e la loro somma misura 184 cm Calcola la misura dell'altezza

lato rombo=272/4 = 68 cm

8/15 -----> 8 + 15 = 23

184/23·8 = 64 cm

184/23·15 = 120 cm

Area=1/2·64·120 = 3840 cm^2

Altezza=Area/lato=3840/68 = 56.47 cm

Le diagonali si calcolano attraverso la relazione

\[d_1 + d_2 = 184\:cm \:\Bigg|_{d_1 = \frac{8}{15}d_2} \implies \frac{8}{15}d_2 + d_2 = 184\:cm \implies\]

\[\frac{23}{15}d_2 = 184\:cm \iff d_2 = 120\:cm \mid d_1 = \frac{8}{15}d_2 = 64\:cm\,.\]

L'area del rombo si calcola come

\[\mathcal{A} = \frac{1}{2}d_1 d_2 = 3840\:cm^2 = l \cdot h \implies h = \frac{3840\: cm^2}{\frac{272}{4}} = 56,47\:cm\,.\]

In un rombo di perimetro 2p = 272 cm le diagonali sono d2 =  8d1/15  e la loro somma misura 184 cm Calcola la misura dell'altezza

184 = d1+8d1/15 = 23d1/15

diagonale maggiore d1 = 184/23*15 = 120 cm

diagonale minore d2 = 184-120 = 64 cm

lato L = 2p/4 =  272/4 = 68 cm

altezza h = d1*d2/2L = 64*120/136 = 56,47 cm 

Ripasso
Nel rombo con: diagonali a >= b > 0, lato L = √(a^2 + b^2)/2, altezza h; si ha
* perimetro p = 4*L = 2*√(a^2 + b^2)
* area S = a*b/2 = h*L = h*√(a^2 + b^2)/2
quindi
* h = a*b/√(a^2 + b^2)
Esercizio
"le diagonali sono una 8/15 dell'altra e la loro somma misura 184 cm" ≡
≡ (b = 8*a/15) & (a + b = 184) ≡ (a = 120) & (b = 64) →
→ h = a*b/√(a^2 + b^2) = 120*64/√(120^2 + 64^2) = 960/17
Il dato sovrabbondante
"di perimetro 272 cm" ≡
≡ p = 2*√(a^2 + b^2) = 2*√(120^2 + 64^2) = 272
si rivela non contraddittorio, quindi
* h = 960/17 = 56.(4705882352941176) ~= 56.5 cm