[Risolto] Geometria fisica

Problema:

Dato il sottospazio vettoriale $U$ di $\mathbb{C}³$ definito dall'equazione 

$z_1-z_2+i√2z_3=0$,

Determinare un sottospazio vettoriale $W$ di $\mathbb{C}³$ tale che $\mathbb{C}³=U \bigoplus W$

Soluzione:

Poiché $\mathbb{C}³$ è somma diretta di $W$ ed $U$, ne consegue, per definizione, che $dim(W \cap U)=0$ e che $W+U=\mathbb{C}³$.

Tramite il teorema di Grassman si ottiene che $dim(W)=1$, ciò implica che la base di $W$ ha cardinalità 1.

Per risolvere il problema è dunque necessario determinare la base di $U$ e completarla a base di $\mathbb{C}³$ tramite il teorema del completamento per trovare la base di $W$ rimuovendo da $B_\mathbb{C³}$ la base di $U$.

$B_U=((1,1,0),(-i√2,0,1))$

Se ho fatto bene i conti completando con la base $B((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ si ottiene:

$B_C³=((1,1,0),(-i√2,0,1),(1,0,0))$

$B_W=((1,0,0))$