Nella piramide rappresentata nella figura, lo spigolo $ B V$ è l'altezza e la faccia $A C V$ forma un diedro di $45^{\circ}$ col piano della base $A B C .$ Calcola la distanza del vertice $B$ dal piano $A C V$.
$[4 \sqrt{2} cm ]$
Nella piramide rappresentata nella figura, lo spigolo $ B V$ è l'altezza e la faccia $A C V$ forma un diedro di $45^{\circ}$ col piano della base $A B C .$ Calcola la distanza del vertice $B$ dal piano $A C V$.
$[4 \sqrt{2} cm ]$
168
punti
Livello 1
Determiniamo le coordinate spaziali ortogonali dei vertici della piramide data:
A(m,0,0); B(0,0,0): C(0,m,0); V(0,0,n)
Le facce ABV e BVC sono 2 triangoli rettangoli congruenti ed inoltre verticali.
Sia poi H il punto medio dello spigolo di base AC: dovrà risultare pertanto BH=n ed HV=√2·n. (perché abbiamo un angolo pari a 45°)
Quindi, con riferimento alla faccia inclinata AVC possiamo dire che
AH= √((8·√3)^2 - (√2·n)^2)= √2·√(96 - n^2)
ma risulta pure:
AH=sqrt(2)/2* m
Quindi:
√2·√(96 - n^2) = √2/2·m quindi:
2·(96 - n^2) = m^2/2
che messa a sistema con :
m^2+n^2=(8·√3)^2 (teorema di Pitagora su una delle due facce verticali)
Permette di determinare m ed n:
[m = 8·√2 ∧ n = 8, m = 8·√2 ∧ n = -8, m = - 8·√2 ∧ n = 8, m = - 8·√2 ∧ n = -8]
Quindi adesso conosci le coordinate dei punti A,C,V : ti permetteranno di determinare il piano e quindi la distanza di B da tale piano. Vedi un po' tu!
Continuo....
Determino il piano per i punti dati:
[8·√2, 0, 0] ; [0, 8·√2, 0]; [0, 0, 8]
Ho il sistema:
{a·(8·√2) + b·0 + c·0 + d = 0
{a·0 + b·(8·√2) + c·0 + d = 0
{a·0 + b·0 + c·8 + d = 0
cioè:
{8·√2·a + d = 0
{8·√2·b + d = 0
{8·c + d = 0
soluzione: [a = - √2·d/16 ∧ b = - √2·d/16 ∧ c = - d/8]
(- √2·d/16)·x + (- √2·d/16)·y + (- d/8)·z + d = 0
d·(x + y + √2·z - 8·√2) = 0---------> x + y + √2·z - 8·√2 = 0
D = ABS(- 8·√2)/√(1^2 + 1^2 + √2^2) ove D= distanza di B dal piano
D = 4·√2 cm
88943
punti
Genius II
Grazie mille signor Stefano.
Sei un grande. Tempi da record.
Grazie al gruppo in generale.
68
punti
Livello 1