[Risolto] Geometria euclidea

Scrivere un insieme "dal più grande al più piccolo" si chiama ordinarlo in ordine decrescente se è concettualmente impossibile che abbia due o più elementi eguali; se ciò invece è possibile l'ordinamento si chiama discendente.
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L'esercizio chiede di stabilire l'ordine discendente fra i quattro segmenti della figura: i tre lati del triangolo ABC (a = |BC|; b = |CA|; c = |AB|) e l'altezza (h = |CH|) relativa al lato AB; sono dati l'angolo β = 52° interno a B e i due angoli esterni adiacenti al lato opposto: 180° - α = 110° esterno ad A e 180° - γ = 122° esterno a C. Vale a dire che sono dati i tre angoli interni
* (α, β, γ) = (70, 52, 58)°
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Rammentando il teorema dei seni (a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) = 2*R) si possono ordinare i tre lati in base alla corrispondenza
* (90° > α > γ > β > 0) → (1 > sin(α) > sin(γ) > sin(β) > 0) → (a > c > b > 0)
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Per inserire nell'ordinamento anche h basta osservare che è la misura del cateto comune ai triangoli rettangoli AHC e HBC e quindi, per il teorema di Pitagora, minore delle ipotenuse (a, b).
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Tornando dai nomi delle misure a quelli dei segmenti si conclude che
* (90° > α > γ > β > 0) → (a > c > b > h > 0) ≡ (BC > AB > CA > CH > 0)

Ad angolo maggiore si oppone lato maggiore

C^ = 58°, A^ = 70°, B^ = 52°

e da B^ < C^ < A^

segue AC < AB < BC

Ovviamente CH < AC perché cateto e ipotenusa in un triangolo

rettangolo ACH e si utilizza un caso particolare del teorema citato.