geometria euclidea

Question

Determina il volume di una piramide triangolare regolare, sapendo che lo spigolo di base misura 6a(sqrt3) e che l'area della superficie laterale della piramide è 45a(sqrt3).

mg · Accepted Answer

La base della piramide regolare è un triangolo equilatero di spigolo:

L = 6a radice(3);

Perimetro di base = 3 * L = 3 * 6a radice(3) = 18a radice(3);

Area laterale = 45a radice(3); ???

deve essere A = 45a^2 radice(3) !!!

Area laterale = Perimetro * apotema / 2;

apotema piramide VF in figura:

VF = Area laterale * 2 / Perimetro;

VF = 45a^2 radice(3) * 2 / [18a radice(3)] = 5a, apotema, VF in figura;

Altezza della base triangolare di lato : L = 6a radice(3); BF in figura;

h di base = L * radice(3) / 2 = [6a radice(3)] * radice(3) / 2;

h di base = 6a * 3 / 2 = 9a;

Area di base = L * h / 2 = [6a radice(3)] * 9a / 2;

Area di base = 27a^2 radice(3); (area della base della piramide);

dobbiamo trovare l'altezza della piramide VH in figura;

dobbiamo trovare HF, raggio del cerchio inscritto nella base, e applicare Pitagora nel triangolo rettangolo VFH dove l'apotema VF è l'ipotenusa e VH il cateto mancante;

Area triangolo di base = Perimetro * HF / 2 = 27a^2 radice(3);

18a radice(3) * HF / 2 = 27a^2 radice(3);

HF = 27a^2 radice(3) * 2 / [18a radice(3) ];

HF = 54 a / 18 = 3a; (raggio del cerchio inscritto nella base);

altezza piramide:

VH = radicequadrata(VF^2 - HF^2) = radice[(5a)^2 - (3a)^2];

VH = radice(25a^2 - 9^2) = radice(16a^2) = 4a; altezza della piramide;

Volume = Area base * VH / 3;

Volume = 27a^2 radice(3) * 4a / 3;

Volume = 9a^2 radice(3) * 4a = 36 a^3 radice(3); volume piramide.

Ciao @bittu

mg

(@mg)

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11/12/2024 18:59

remanzini_rinaldo · Answer

Determina il volume V di una piramide triangolare regolare, sapendo che lo spigolo di base S misura 6a(sqrt3) e che l'area della superficie laterale Ala della piramide è 45a^2(sqrt3).

perimetro 2p = 6a√3 *3 = 18a√3

apotema a = 2Ala/2p = 90a^2√3/18a√3 = 5a

area base Ab = S*S√3 /4 = S^2*√3 /4 = a^2*27√3

raggio r = 2Ab/2P = 54a^2√3 / 18a√3 = 3a

altezza h = a√5^2-3^2 = 4a

volume V = Ab*h/3 = a^2*27√3*4a/3 = 36a^3√3

remanzini_rinaldo

(@remanzini_rinaldo)

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11/12/2024 18:35

princess8794 · Answer

Per determinare il volume della piramide triangolare regolare, possiamo utilizzare la formula:

$\frac{1}{3} \cdot A_b \cdot h$

dove:

$V$ è il volume della piramide,
$A_b$ è l'area della base della piramide,
$h$ è l'altezza della piramide.

Passaggio 1: Determinare l'area della base $A_b$

La base della piramide è un triangolo equilatero, e quindi l'area di un triangolo equilatero può essere calcolata con la formula:

$Ab=s234A_b = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$

dove $s$ è la lunghezza dello spigolo del triangolo equilatero (che è anche la lunghezza di ogni lato della base della piramide).

Sappiamo che lo spigolo di base è $6a36a\sqrt{3}$ , quindi:

$6a\sqrt{3}$

Ora possiamo calcolare l'area della base $A_b$ :

$Ab=(6a3)234A_b = \frac{(6a\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4}$ $Ab=(36a2⋅3)34A_b = \frac{(36a^2 \cdot 3) \sqrt{3}}{4}$ $Ab=108a234A_b = \frac{108a^2 \sqrt{3}}{4}$ $Ab=27a23A_b = 27a^2 \sqrt{3}$

Passaggio 2: Determinare l'altezza della piramide $h$

L'area della superficie laterale $A_l$ di una piramide triangolare regolare è data dalla formula:

$Al=Pb⋅l2A_l = \frac{P_b \cdot l}{2}$

dove:

$P_b$ è il perimetro della base della piramide,
$l$ è la lunghezza della generatrice della piramide (cioè la distanza inclinata tra la sommità della piramide e un punto della base).

Il perimetro della base $P_b$ di un triangolo equilatero è dato da:

$P_b = 3s$

Poiché $6a\sqrt{3}$ , abbiamo:

$Pb=3⋅6a3=18a3P_b = 3 \cdot 6a\sqrt{3} = 18a\sqrt{3}$

Sappiamo anche che l'area della superficie laterale è $Al=45a3A_l = 45a\sqrt{3}$ . Ora possiamo sostituire il perimetro $P_b$ e l'area $A_l$ nella formula dell'area laterale per trovare la generatrice $l$ :

$45a3=18a3⋅l245a\sqrt{3} = \frac{18a\sqrt{3} \cdot l}{2}$ $45a3=9a3⋅l45a\sqrt{3} = 9a\sqrt{3} \cdot l$ $l = 5$

Ora che abbiamo trovato la generatrice $l = 5$ , possiamo determinare l'altezza $h$ della piramide usando il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo formato dall'altezza della piramide, dalla generatrice $l$ e dal raggio della base.

Nel triangolo rettangolo, la generatrice $l$ , l'altezza $h$ e il raggio $r$ della base sono collegati dalla relazione:

$l^2 = h^2 + r^2$

Per determinare il raggio $r$ , possiamo usare la formula per il raggio di un triangolo equilatero, che è dato da:

$\frac{s \sqrt{3}}{6}$

Sostituendo $6a\sqrt{3}$ :

$\frac{6a\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = 3a$

Ora possiamo applicare il teorema di Pitagora:

$5^2 = h^2 + (3a)^2$ $25 = h^2 + 9a^2$ $h^2 = 25 - 9a^2$ $\sqrt{25 - 9a^2}$

Passaggio 3: Calcolare il volume

Infine, possiamo calcolare il volume della piramide usando la formula:

$\frac{1}{3} \cdot A_b \cdot h$

Sostituendo $Ab=27a23A_b = 27a^2 \sqrt{3}$ e $\sqrt{25 - 9a^2}$ , otteniamo:

$\frac{1}{3} \cdot 27a^2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{25 - 9a^2}$

Questo è il volume della piramide.

princess8794

(@princess8794)

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11/12/2024 19:16

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