Considera un quadrato $A B C D$, il cui lato misura $4 a$ e traccia la semicirconferenza di diametro $A B$, esterna al quadrato. Prendi su tale semicirconferenza un punto $Pe$, detta $H$ la proiezione $\operatorname{di} P$ su $A B$, poni $\overline{H B}=x$. Determina $x$ in modo che risulti: $\overline{P A}^2+\overline{P B}^2+\overline{P C}^2+\overline{P D}^2=80 a^2$.
$$
[x=(2-\sqrt{3}) a \vee x=(2+\sqrt{3}) a]
$$
69
punti
Livello 1
Con riferimento al triangolo rettangolo ABP retto in P possiamo dire che:
AP^2+PB^2= 16a^2 (vedi figura sotto allegata)
Con riferimento alla figura allegata sopra possiamo dire:
{16·a^2 + (x^2 + (4·a + y)^2) + ((4·a - x)^2 + (4·a + y)^2) = 80·a^2
{y^2 = x·(4·a - x)
La prima indica quanto richiesto (tenendo conto che 16a^2=PA^2+PB^2 per Pitagora applicato altriangolo rettangolo APB); la seconda indica il 2° teorema di Euclide per il triangolo APB.
Abbiamo dalla seconda: y = √(x·(4·a - x))
quindi:
2·x^2 - 8·a·x + 2·y^2 + 16·a·y + 64·a^2 - 80·a^2 = 0
2·x^2 - 8·a·x + 2·√(x·(4·a - x))^2 + 16·a·√(x·(4·a - x)) + 64·a^2 - 80·a^2 = 0
16·a·√(x·(4·a - x)) - 16·a^2 = 0
16·a·(√(x·(4·a - x)) - a) = 0----> √(x·(4·a - x)) - a = 0
x·(4·a - x) = a^2----> x·(4·a - x) - a^2 = 0
x^2 - 4·a·x + a^2 = 0
Quindi risolvendo si ha: x = a·(2 - √3) ∨ x = a·(√3 + 2)
90155
punti
Genius II
45583
punti
Livello 7
