Inscrivere nella parte di piano compresa fra la parabola di equazione y = - 1/2 x^2 + 4x + 8 e l'asse x un quadrato avente un lato sull'asse delle x.
Inscrivere nella parte di piano compresa fra la parabola di equazione y = - 1/2 x^2 + 4x + 8 e l'asse x un quadrato avente un lato sull'asse delle x.
Ciao
Metto a sistema:
{y = - 1/2·x^2 + 4·x + 8
{y = k
Quindi determino le intersezioni. Procedo con il confronto:
- 1/2·x^2 + 4·x + 8 = k
x^2 - 8·x - 16 + 2·k = 0
x^2 - 8·x + (2·k - 16) = 0
Procedo al calcolo delle due radici:
Δ/4 = 4^2 - (2·k - 16)--------> Δ/4 = 2·(16 - k)
attraverso la formula ridotta ottengo
x2 = 2 + √(2·(16 - k)) (radice algebricamente maggiore)
x1 = 2 - √(2·(16 - k)) (radice algebricamente minore)
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x2-x1=2 + √(2·(16 - k)) - (2 - √(2·(16 - k)))
x2-x1=2·√(2·(16 - k)) che proietto sull'asse delle x ( corrisponde alla base del quadrato)
Quindi scrivo:
2·√(2·(16 - k)) = k ---------> base =altezza
8·(16 - k) = k^2
128 - 8·k = k^2
k^2 + 8·k - 128 = 0
risolvo ed ottengo:
k = -16 ∨ k = 8
Siccome l'asse della parabola è x=4, deduco i 4 vertici del quadrato:
A(0,0); B(8,0); C(8,8); D(0,8)
"la parte di piano compresa fra la parabola ... e l'asse x" si chiama "segmento parabolico delimitato dall'asse x sulla parabola ..."
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La parabola
* Γ ≡ y(x) = - x^2/2 + 4*x + 8 ≡
≡ y = - (1/2)*(x - 4*(1 - √2))*(x - 4*(1 + √2)) ≡
≡ y = 16 - (x - 4)^2/2
ha:
* asse di simmetria x = 4, parallelo all'asse y;
* apertura a = - 1/2 < 0, quindi concavità verso y < 0;
* vertice V(4, 16), nel primo quadrante;
* zeri (X1 = 4*(1 - √2) ~= - 1.66) e (X2 = 4*(1 + √2) ~= 9.66)
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Per identificare il lato L, e la posizione, del quadrato richiesto si calcola
* y(4 - k) = y(4 + k) = 16 - k^2/2
e si cerca il valore di k per cui
* (L = 2*k = 16 - k^2/2) & (|k| < 4*√2) ≡ k = 4
quindi i vertici risultano
* A(0, 0), B(8, 0), C(8, 8), D(0, 8)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D16-%28x-4%29%5E2%2F2%2Cx*y*%28x-8%29*%28y-8%29%3D0%5D