L'altezza h richiesta corrisponde al segmento EL=LF per la sua misura applichiamo due volte il teorema di Pitagora tenendo presente che l'ottaedro equivale a due piramidi a base quadrata con 4 facce laterali costituite da triangoli equilateri.
Quindi calcolo l'apotema di ognuna di queste facce: √(s^2 - (s/2)^2) = √3·s/2 che è EM
(EM=√(EB^2 - BM^2)
Quindi ancora con Pitagora: h = √((√3·s/2)^2 - (s/2)^2)
h = √(3·s^2/4 - s^2/4)------->h = √(s^2/2)------> h = √2·s/2
(EL=√(EM^2 - LM^2)
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Calcoliamo poi l'angolo diedro φ che è quello di figura (vedi sotto)
TAN(φ/2) = h/(s/2) ( si visualizzi il triangolo rettangolo ELM: quindi EL/LM)
L'ottaedro è regolare di spigolo s se e solo se le otto facce sono triangoli equilateri di lato s e d'altezza (√3/2)*s. Nel piano di separazione delle piramidi componenti gli spigoli di base fanno un quadrato di lato s e diagonale d = (√2)*s. La piramide ha altezza * h = √(s^2 - (d/2)^2) = √(s^2 - ((√2)*s/2)^2) = s/√2 in quanto cateto del triangolo rettangolo d'ipotenusa s ed altro cateto la semidiagonale di base. Il volume V è il doppio di quello della piramide, che è un terzo del prodotto fra area di base s^2 e altezza s/√2, cioè * V = 2*(1/3)*(s^2)*s/√2 = (√2/3)*s^3 L'angolo diedrale risulta * θ = arccos(- 1/3) ~= 1.9106332 rad ~= 109° 28' 16.39428''
