geometria analitica nello spazio

Cerchiamo la retta passante per P(-2, 5,6) incidente e ortogonale alla retta r:

$ r: \left\{\begin{aligned} x &= 1+t \\ y &= 2-t \\ z&= 2t \end{aligned} \right. $

La retta r: ha come direzione il vettore $ \vec r (1, -1, 2) $

Prendiamo un generico punto Q che giace sulla retta r:

$ Q = (1+t, 2-t, 2t) $            (1)

determiniamo le coordinate del vettore che unisce P a Q

$ \vec {PQ} = (1+t+2, 2-t-5, 2t-6) = (3+t, -3-t, -6+2t) $

imponiamo che i vettore $\vec r$ e il vettore $ \vec PQ $ siano ortogonali. cioè il loro prodotto scalare deve essere nullo.

$ \vec r \cdot \vec {PQ} = 0 \; ⇒ \; (1, -1, 2) \cdot (3+t, -3-t, -6+2t) \; ⇒ \; t = 1$ 

Possiamo così determinare, dalla (1), le coordinate di Q. $ Q(2, 1, 2)$

La retta s: cercata sarà la retta passante per i punti P e Q (questo implica l'incidenza)

$ s: \left\{\begin{aligned} x &= P_x+(Q_x - P_x)t \\ y &= P_y + (Q_y-P_y)t \\ z&= P_z + (Q_z - P_z)t  \end{aligned} \right. $

ovvero

$ s: \left\{\begin{aligned} x &= -2+4t \\ y &= 5-4t \\ z&=6- 4t \end{aligned} \right. $