Geometria analitica nello spazio

Dire che il piano contiene la retta significa

1) che la sua normale é perpendicolare al vettore direzione di quest'ultima

2) che passa per un punto che si trova sulla retta.

Abbiamo quindi le tre condizioni per ax + by + cz + d = 0 :

(a b c) * (1 1 2)' = 0 =>  a + b + 2c = 0

5a + 0b + (-2) c + d = 0 =>  d = 2c - 5a

posto z = 0 dalle equazioni della retta risulta x = 3, y = -4

Imponendo l'appartenenza al piano di (3,-4,0)

3a - 4b + d = 0 => d = 4b - 3a

Dalla prima 2c = -a - b

e nella seconda    d = -a - b - 5a = -6a - b

dal confronto con la terza     4b - 3a = - 6a - b

6a - 3a = - b - 4b

-5b = 3a

b = -3/5 a

d = 4b - 3a = - 12/5 a - 15/5 a = -27/5 a

2c = -a - b = -a + 3/5a = -2/5 a

c = -1/5 a

a x - 3/5 a y - 1/5 a z - 27/5 a = 0

a può essere qualsiasi diverso da 0

ponendo a = 5 risulta infine

5x - 3y - z - 27 = 0