Scrivi l'equazione della circonferenza che passa per l'origine, per il punto A (0;−2) e che sulla retta di equazione 3x−y=0 stacca una corda di misura sqrt*10.
Scrivi l'equazione della circonferenza che passa per l'origine, per il punto A (0;−2) e che sulla retta di equazione 3x−y=0 stacca una corda di misura sqrt*10.
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Livello 0
Credo che sia necessario utilizzare la formula della distanza punto-retta oppure quella tra due punti, conoscendone la distanza.
Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà a risolvere il problema.
Stabilito che c = 0
x^2 + y^2 + ax + by = 0
se x = 0 e y = -2
0 + 4 + 0 - 2b = 0
2b = 4 => b = 2
Ora mettiamo a sistema
{ x^2 + y^2 + ax + 2 y = 0
{ y = 3x
x^2 + 9x^2 + ax + 6x = 0
10x^2 + (a+6) x = 0
sqrt(Delta)/|A| * sqrt (1 + m^2) = d
Delta = (a + 6)^2
|a+6|/10 * sqrt(10) = sqrt(10)
|a+6| = 10
a = -6 +- 10
a = -16 V a = 4
x^2 + y^2 - 16x + 2y = 0
x^2 + y^2 + 4x + 2y = 0
45401
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Livello 7
in alternativa al procedimento del sistema retta-circonferenza, in cui si trovano i punti di intersezione (che saranno in funzione di un parametro) e si uguaglia la loro distanza d a rad10, si può considerare che quella corda è la base di un triangolo isoscele che ha come lati congruenti i due raggi. dunque trovi l'altezza (anche mediana) del triangolo utilizzando la distanza tra la retta y=3x e il centro della circonferenza: l'h dividerà il triangolo isoscele in due tr. rettangoli in cui puoi usare pitagora
attraverso questo teorema sai che raggio=rad[d^2+10/2], dalla circonferenza troverai la misura del raggio in funzione di un parametro (perchè hai 2 condizioni su 3) e la uguagli al risultato che esce dall'utilizzo del teorema di pitagora.
un ragionamento simile l'ho applicato in questo esercizio esercizio
462
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Livello 1
Ogni circonferenza del fascio Γ(k) che ha punti base l'origine O(0, 0) ed A(0, − 2) ha centro C(k, - 1) sull'asse y = - 1 di AO e raggio r(k) la comune distanza |CA| = |CO| = √(k^2 + 1)
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y + 1)^2 = k^2 + 1 = r^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - 2*k*x + 2*y = 0
La retta che dev'essere secante la/e Γ richiesta/e in due punti distanti la misura della corda c = √10 è
* s ≡ 3*x − y = 0 ≡ y = 3*x
Dal sistema
* s & Γ(k) ≡ (y = 3*x) & (x^2 + y^2 - 2*k*x + 2*y = 0) ≡
≡ O(0, 0) oppure B((k - 3)/5, 3*(k - 3)/5)
si ha
* |BO| = |k - 3|*(2/5) = √10 ≡
≡ (K1 = 3 - 5*√(5/2)) OPPURE (K2 = 3 + 5*√(5/2))
da cui
* Γ(K1) ≡ x^2 + y^2 - 2*(3 - 5*√(5/2))*x + 2*y = 0
* Γ(K2) ≡ x^2 + y^2 - 2*(3 + 5*√(5/2))*x + 2*y = 0
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D3*x%2Cx%5E2--y%5E2-2*%283-5*%E2%88%9A%285%2F2%29%29*x--2*y%3D0%2Cx%5E2--y%5E2-2*%283--5*%E2%88%9A%285%2F2%29%29*x--2*y%3D0%5D
57150
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