Il triangolo $A B C$ della figura ha l'ortocentro in $H\left(-\frac{7}{2} ;-\frac{5}{2}\right)$.
a. Trova le coordinate di $A, B$ e $C$.
b. Determina sul segmento $B C$ il punto $P$ tale che
$$
\overline{P A}^2=\frac{6}{5} \overline{P B}^2+4 \overline{B O}^2
$$
c. Da $P$ traccia la parallela ad $A B$ che interseca in $Q$ il lato $A C$. Calcola il rapporto tra le aree dei triangoli $A B C$ e $P Q C$.
201
punti
Livello 1
a)
Cominciamo dal punto A
3*(-5) - 5y + 5 = 0
-5y - 10 = 0
y = 10/(-5) = -2
A = (-5,-2)
Analogamente B = (0, yB)
e 3*0 - 5yB + 5 = 0
5yB = 5
yB = 1
B = (0,1)
Per determinare C dobbiamo sfruttare l'ortocentro
L'altezza relativa ad AB ha equazione
5x + 3y + k = 0
e sostituendo le coordinate di H
5*(-7/2) + 3*(-5/2) + k = 0
k = (35 + 15)/2 = 25
5x + 3y + 25 = 0
il punto C si trova su questa retta
Inoltre BH é perpendicolare ad AC
(1 + 7/2)/(0 + 5/2) * (yC + 5)/(xC + 2) = -1
yC + 5 = - 5/9 (xC + 2)
Riordinando
yC = - 5/9 xC - 10/9 - 5
yC = - 5/3 xC - 25/3
5/3 xC + 25/3 = 5/9 xC + 55/9
15 xC + 75 = 5 xC + 55
10 xC = - 20
xC = -2
yC = 10/3 - 25/3 = -15/3 = -5
C = (-2, -5).
b)
BC ha equazione
y = mx + 1
-5 = -2m + 1
2m = 5 + 1
m = 6/2 = 3
y = 3x + 1
Ricordando che A = (-5,-2), B = (0,1), P = (x, 3x+1) con xC < xP < xB => -2 < x < 0,
la risolvente si scrive come
(x + 5)^2 + (3x + 3)^2 = 6/5 [(x - 0)^2 + (3x + 1 - 1)^2] + 4 * 1^2
5 [ x^2 + 10x + 25 + 9x^2 + 18x + 9 ] = 6*(x^2 + 9x^2) + 20
5(10x^2 + 28x + 34) = 60x^2 + 20
10x^2 - 140x + 20 - 170 = 0
x^2 - 14x - 15 = 0
x^2 - 15x + x - 15 = 0
x(x-15) + (x -15) = 0
(x - 15)(x + 1) = 0
x - 15 =/= 0 per -2 < x < 0
per cui x = -1
P = (-1, -3+1) = (-1,-2)
c) equazione di PQ (parallela ad AB per P)
3x - 5y + k = 0
3(-1) - 5(-2) + k = 0
-3 + 10 + k = 0
k = 3 - 10 = -7
3x - 5y -7 = 0
Per determinare Q intersechiamo con AC
A = (-5,-2)
C = (-2,-5)
mAC = (-5+2)/(-2+5) = -3/3 = -1
y + 2 = -1(x + 5)
y = - x - 7
Coordinate di Q - si ottengono risolvendo il sistema per sostituzione
3x - 5(-x - 7) - 7 = 0
3x + 5x + 35 - 7 = 0
8x = -28
x = -7/2
y = 7/2 - 7 = -7/2
Q = (-7/2, -7/2)
e infine si ha dunque
QC^2 = (-2 + 7/2)^2 + (-5 + 7/2)^2 = 9/4 + 9/4 = 9/2
AC^2 = (-2+5)^2 + (-5+2)^2 = 9 + 9 = 18
ora nei triangoli simili ABC e PQC
k = AC/QC
e quindi S[ABC]/S[PQC] = k^2 = AC^2/QC^2 = 18 : 9/2 = 18 * 2/9 = 4
45525
punti
Livello 7
