[Risolto] GEOMETRIA ANALITICA

Così a occhio sembra più un compito in classe che un esercizio.
Intanto ti racconto cosa occorre per svolgerlo, poi ti mostro qualche calcolo secondo quanta pazienza mi sarà rimasta (ho la soglia della noia piuttosto bassa).
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a) Il circumcentro del triangolo non degenere ABC è l'unico punto K(xK, yK) del piano equidistante dai tre vertici e tale comune distanza è il circumraggio R
* |KA|^2 = |KB|^2 = |KC|^2 = R^2
Il circumcerchio Γ quindi ha equazione
* Γ ≡ (x - xK)^2 + (y - yK)^2 = R^2
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b & c) Dati i due vertici della base b sono isosceli su b tutti e soli i triangoli che abbiano il terzo vertice sull'asse di b. Fra questi hanno area S data i due col terzo vertice a distanza h = 2*S/b dalla base.
Per soddisfare a queste due consegne occorrono:
* le misure |AB| e |BC|;
* gli assi di AB e di BC, risultato intermedio del calcolo di K;
* le aree S(BPC) ed S(AQB).
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d) Questa consegna ha senso se e solo se ABC è rettangolo in B.
In tal caso D è l'altra intersezione fra Γ e la congiungente diametrale BK.
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QUALCHE CALCOLO
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VERIFICHE
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Ne servono due: che ABC sia non degenere e che sia rettangolo in B; e la seconda sussume la prima.
Il prodotto scalare dei due potenziali cateti, visti come segmenti orientati, è
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* BA.BC = (A - B).(C - B) =
= ((0, 2) - (2, 0)).((3, 1) - (2, 0)) =
= (- 2, 2).(1, 1) = 0
e le loro lunghezze sono
* |BA| = 2*√2
* |BC| = √2
Poiché BA e BC risultano ortogonali e non nulli le verifiche vanno a buon fine.
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ASSI E CIRCUM-COSE
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* |KA|^2 = |KB|^2 ≡ x^2 + (y - 2)^2 = (x - 2)^2 + y^2 ≡ y = x
* |KB|^2 = |KC|^2 ≡ (x - 2)^2 + y^2 = (x - 3)^2 + (y - 1)^2 ≡ y = 3 - x
* x^2 + (y - 2)^2 = (x - 2)^2 + y^2 = (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = R^2 ≡
≡ (xK, yK, R^2) = (3/2, 3/2, 5/2) → R = √(5/2) ~= 1.58
* Γ ≡ (x - 3/2)^2 + (y - 3/2)^2 = 5/2 ≡ x^2 + y^2 - 3*x - 3*y + 2 = 0
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ISOSCELI EQUIVALENTI
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Metodo Generale per il calcolo dell'area S del triangolo ABC di vertici
* A(a, p), B(b, q), C(c, r)
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Scegliere secondo convenienza uno dei vertici, p.es. C, ed eseguire le sottrazioni di coppie
* CA ≡ A - C = (a, p) - (c, r) = (a - c, p - r)
* CB ≡ B - C = (b, q) - (c, r) = (b - c, q - r)
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Eseguire l'operazione
* CA × CB = (a - c, p - r) × (b - c, q - r) = a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q)
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Dimezzare il valore assoluto del risultato dà il valore dell'area
* S(ABC) = |CA × CB|/2 = |a*(q - r) + b(r - p) + c*(p - q)|/2
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RETTANGOLO
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* BK ≡ y = 3*(2 - x)
* BK & Γ ≡ (y = 3*(2 - x)) & ((x - 3/2)^2 + (y - 3/2)^2 = 5/2) ≡
≡ B(2, 0) oppure D(1, 3)