[Risolto] Geometria analitica

Per a=0 non rappresenta una parabola!

a·y - 3·x^2 + 6·x = 0---> 6·x - 3·x^2 = 0

3·x·(x - 2) = 0----> x = 2 ∨ x = 0

ma 2 rette verticali.

y = 3·x^2/a - 6·x/a

Direttrice:

y = - (1 + Δ)/(4·3/a)

per y =1

y = - a·(Δ + 1)/12----> Δ = (- 6/a)^2= 36/a^2

y = - a·(36/a^2 + 1)/12

(a^2 + 36)/(12·a) = -1----> a = -6

y = 3·x^2/(-6) - 6·x/(-6)----> y = x - x^2/2

Per a=0 l'equazione non rappresenta una parabola 

3x²-6x=0

3x(x-2)=0

Legge di annullamento del prodotto

x=0 (asse y) 

x=2 (retta // asse y) 

L'equazione
* a*y - 3*x^2 + 6*x = 0
rappresenta
* per a = 0, la parabola degenere sulla coppia di parallele (x = 0) oppure (x = 2)
* per a != 0, la parabola non degenere
** y = (3/a)*(x^2 - 2*x) = (3/a)*(x - 1)^2 - 3/a = (3/a)*(x - 2)*x
con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* zeri (x = 0) oppure (x = 2)
* apertura A = 3/a
* vertice V(1, - 3/a)
* fuoco F(1, - 3/a + 1/(4*A)) = (1, a/12 - 3/a)
* direttrice d ≡ y = - 3/a - 1/(4*A) = - a/12 - 3/a
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RISPOSTE AI QUESITI
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"può rappresentare una parabola per qualsiasi valore di a?" Sì
Non è che possa o no, la rappresenta effettivamente per qualsiasi valore di a: una degenere e infinite non degeneri.
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"per quali valori di a la direttrice ha equazione y = 1"
* direttrice d ≡ y = - a/12 - 3/a = 1 ≡ a = - 6
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"disegna la parabola ottenuta"
* y = (2*x - x^2)/2
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D%282*x-x%5E2%29%2F2%5D
http://www.wolframalpha.com/input?i=plane+curve+y%3D%282*x-x%5E2%29%2F2