[Risolto] geometria analitica

Credo che ti debba correggere in merito al testo che hai proposto:

"Avevo una retta che era scritta come intersezione di due piani,  dovevo trovare l'equazione di un piano contenente tale retta e distante dal punto (1,1,1) una certa quantità data."

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Inventiamoci un problema che rispetti quanto su detto:

{2·x + y - z + 1 = 0

{x - y + 3 = 0

è la retta data.

[1, 1, 1] è il punto dato

Si vuole che tale punto disti d = √2 dal piano che si vuole determinare e che contenga la retta suddetta (quindi non passante , ma contenente!)

Un qualsiasi piano che abbia come sostegno la retta data, è il fascio di piani:

2·x + y - z + 1 + λ·(x - y + 3) = 0

che riordinato fornisce:

x·(λ + 2) + y·(1 - λ) - z + 3·λ + 1 = 0

Si tratta quindi di scrivere:

d = ABS((λ + 2) + (1 - λ) - 1 + 3·λ + 1)/√((λ + 2)^2 + (1 - λ)^2 + (-1)^2) = √2

ABS(3·λ + 3)/√(2·λ^2 + 2·λ + 6) = √2

Risolvendo questa equazione si ottiene:  λ = 1/5 ∨ λ = -3

quindi due piani:

x·(1/5 + 2) + y·(1 - 1/5) - z + 3·(1/5) + 1 = 0

11·x/5 + 4·y/5 - z + 8/5 = 0

11·x + 4·y - 5·z + 8 = 0

x·(-3 + 2) + y·(1 - (-3)) - z + 3·(-3) + 1 = 0

-x + 4·y - z - 8 = 0

Tutti e soli i punti P(x, y, z) distanti dal punto C(1, 1, 1) la quantità R data sono sulla superficie della sfera
* σ ≡ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = R^2
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Il fascio di piani π(h, k) che ha per sostegno la retta r, data come intersezione dei due piani π1 e π2
* r ≡ π1 & π2
* π1 ≡ a*x + b*y + c*z + d = 0
* π2 ≡ f*x + g*y + m*z + n = 0
ha equazione
* π(h, k) ≡ h*(a*x + b*y + c*z + d) + k*(f*x + g*y + m*z + n) = 0 ≡
≡ (a*h + f*k)*x + (b*h + g*k)*y + (c*h + k*m)*z + (d*h + k*n) = 0
il piano richiesto è uno dei due π(h, k) tangenti la sfera σ; quale, dipende dalle ulteriori condizioni.