[Risolto] geometria analitica

Il circumraggio R del triangolo equilatero di lato L è R = L/√3 e l'area è S = (√3/4)*L^2.
La circonferenza x^2 + y^2 = 4 ha R = 2, quindi il suo triangolo equilatero inscritto ha
* L = 2*√3
* S = (√3/4)*(2*√3)^2 = 3*√3 ~= 5.196
---------------
Le rette
* u ≡ y = (√3/2)*(x + 1)
* v ≡ x = 1
s'intersecano nel vertice fisso del triangolo cercato
* (x = 1) & (y = (√3/2)*(x + 1)) ≡ A(1, √3)
e formano i due vertici variabili intersecando p, cioè
* (y = q - x/2) & (x = 1) ≡ B(1, q - 1/2)
* (y = q - x/2) & (y = (√3/2)*(x + 1)) ≡ C((2*q - √3)/(1 + √3), (√3/(2*(1 + √3)))*(2*q + 1))
---------------
Il segmento AB è lungo
* |AB| = b = |q - 1/2 - √3|
e dista da C
* h = |1 - (2*q - √3)/(1 + √3)|
quindi l'area variabile è
* S(ABC) = b*h/2 =
= (|q - 1/2 - √3|)*(|1 - (2*q - √3)/(1 + √3)|)/2 =
= |- (2/(1 + √3))*q^2 + (5 - √3)*q + (1 - 9*√3)/4|/2
da cui l'equazione risolutiva (?!?)
* |- (2/(1 + √3))*q^2 + (5 - √3)*q + (1 - 9*√3)/4|/2 = 3*√3 ~= 5.196 ≡
≡ |- (2/(1 + √3))*q^2 + (5 - √3)*q + (1 - 9*√3)/4| = 6*√3 ≡
≡ (- (2/(1 + √3))*q^2 + (5 - √3)*q + (1 - 9*√3)/4 = - 6*√3) oppure (- (2/(1 + √3))*q^2 + (5 - √3)*q + (1 - 9*√3)/4 = 6*√3) ≡
≡ (q = 1/2 + √3 - √(3 (3 + √3))) oppure (q = 1/2 + √3 + √(3 (3 + √3))) oppure (radici complesse) ≡
≡ (q = 1/2 + √3 - √(3*(3 + √3))) oppure (q = 1/2 + √3 + √(3*(3 + √3)))
da cui dovrebbero derivare due triangoli.
---------------
1) q = 1/2 + √3 - √(3*(3 + √3))
* A(1, √3), B(1, √3 - √(3*(3 + √3))), C(1 - √(6*(3 - √3)), √3 - 3*√((3 - √3)/2))
Vedi il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%281%2C%E2%88%9A3%29%281%2C%E2%88%9A3-%E2%88%9A%283*%283%2B%E2%88%9A3%29%29%29%281-%E2%88%9A%286*%283-%E2%88%9A3%29%29%2C%E2%88%9A3-3*%E2%88%9A%28%283-%E2%88%9A3%29%2F2%29%29
---------------
2) q = 1/2 + √3 + √(3*(3 + √3))
* A(1, √3), B(1, √3 + √(3*(3 + √3))), C(1 + √(6*(3 - √3)), √3 + 3*√((3 - √3)/2))
Vedi il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%281%2C%E2%88%9A3%29%281%2C%E2%88%9A3%2B%E2%88%9A%283*%283%2B%E2%88%9A3%29%29%29%281%2B%E2%88%9A%286*%283-%E2%88%9A3%29%29%2C%E2%88%9A3%2B3*%E2%88%9A%28%283-%E2%88%9A3%29%2F2%29%29
-----------------------------
QUESTO GENERE DI ESERCIZI SCORAGGIANO L'INTERESSE PER LA MATERIA.

q=-3/2?