Notifiche
Cancella tutti

[Risolto] Geometria analitica

  

0

Determina i vertici del triangolo isoscele $O A B$, sulla base $O B$, sapendo che $O$ è l'origine degli assi, l'ortocentro del triangolo è $H\left(\frac{4}{3}, 1\right)$ e il vertice $B$ appartiene alla retta di equazione $x-3 y=0$.
$$
[A(0,5) ; B(3,1)]
$$

20211229 163235
Autore

Mi potete aiutare a risolvere il problema? Grazie 

Ho trovato il punto B ma non riesco a trovare il punto A...

3 Risposte



3

@chiesa

Ciao di nuovo. 

Determino la retta perpendicolare alla base OB e passante per H(4/3,1): tale retta è altezza, bisettrice dell'angolo al vertice A  e anche mediana della base OB.

retta OB: x - 3·y = 0------> y = x/3 -----> m'=1/3

Retta ad essa perpendicolare per H:------> m=-3   (condizioni di perpendicolarità)

y - 1 = - 3·(x - 4/3)-------> y = 5 - 3·x

Determino M punto medio di OB:

{y = x/3

{y = 5 - 3·x

Risolvo ed ottengo:[x = 3/2 ∧ y = 1/2]------> M(3/2,1/2)

Quindi B ha coordinate doppie: B(3,1) 

Determino la retta OH che è perpendicolare al lato AB del triangolo isoscele:

H(4/3,1)--------> m=1/(4/3)-------> m=3/4--------> y=3/4*x

Quindi la retta AB ha coefficiente angolare m=-4/3

Quindi :  y - 1 = - 4/3·(x - 3)------> y = 5 - 4·x/3

Metto quindi a sistema le rette:

{y = 5 - 4·x/3 (retta AB)

{y = 5 - 3·x    (retta AH)

Risolvo ed ottengo A(0,5)

image

 

@lucianop grazie per la risposta molto chiara. Io ho ragionato così: il punto A appartiene alla retta y=-3x+5, quindi ha coordinate A(x; -3x+5). Il triangolo è isocele , quindi ho imposto OA= AB, però non mi ridà. È giusto come procedimento?

@chiesa

Ciao. Così facendo non hai tenuto conto che di punti A che soddisfano tale condizione ne hai infiniti: tutti quelli della retta stessa y=-3x+5 che è asse del segmento. quindi dovevi procedere cercando un' altra retta che intersecava in un solo punto l'asse del segmento.

@lucianop 👍👌👍



4

Certamente hai determinato B osservando che B = (3y, y) e che deve essere OH^2 = BH^2

(4/3)^2 + 1^2 = (4/3 - 3y)^2 + (1 - y)^2

16/9 + 1 = 16/9 - 8y + 9y^2 + 1 - 2y + y^2

10 y^2 - 10 y = 0

10 y(y - 1) = 0

non può essere y = 0 altrimenti B sarebbe O e quindi yB = 1

e xB = 3yB = 3  per cui B = (3,1)

 

Ora la retta OB ha equazione y = x/3

la sua perpendicolare per H ha equazione y = -3x + q

con 1 = -3*4/3 + q => q = 1 + 4 = 5

 

y = - 3x + 5

e questa retta passa per A per cui

yA = -3xA + 5.

 

Osserviamo poi che la retta per B = (3,1) e H = (4/3, 1)

e quindi di equazione y = 1 é perpendicolare a OA la quale ha quindi

equazione x = k da cui x = 0 perché passa per O.

 

Se ne deduce infine che xA = 0 e quindi yA = -3*0 + 5 = 5

 

A = (0;5).

@eidosm grazie

@eidosm 👍👌👍



2
Screenshot 20211229 174533

Una volta trovato il vertice B, puoi utilizzare il seguente sistema per determinare le coordinate dell'ultimo vertice del triangolo. 

X e Y nel sistema che vedi in figura sono le coordinate del pto H, ortocentro del triangolo. 

(Xa, Ya) (Xb, Yb) (Xc, Yc) I vertici del triangolo 

Xa, Ya sono le tue incognite 


 

@stefanopescetto 👍👌👍++



Risposta
SOS Matematica

4.6
SCARICA