[Risolto] Geometria analitica

I tuoi due esercizi (www.sosmatematica.it/forum/postid/29270 e .../postid/29276) sono diverse istanze dello stesso problema.
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Trova, se esistono, le equazioni delle rette per il punto P(u, v), tangenti alla conica di equazione
* Γ ≡ f(x, y) = 0
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Problema che si risolve in tre passi: sdoppiare, intersecare, decidere.
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A) Sdoppiare
La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla cònica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciàndone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
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B) Intersecare
Il sistema "p & Γ" può non avere soluzioni reali, averne una doppia o due distinte.
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C) Decidere
* zero intersezioni reali → p esterna e P interno a Γ.
* una doppia → p tangente Γ nel punto P.
* due distinte → p secante Γ nei punti T1 e T2, P esterno a Γ.
In quest'ultimo caso le tangenti richieste sono le congiungenti PT1 e PT2.
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I TUOI ESERCIZI
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29270) P(2, 3); Γ ≡ (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 1^2 ≡ x^2 + y^2 - 4*y + 3 = 0
A) Sdoppiare: p ≡ 2*x + 3*y - 4*(y + 3)/2 + 3 = 0 ≡ y = 3 - 2*x
B) Intersecare: p & Γ ≡ (y = 3 - 2*x) & (x^2 + (y - 2)^2 = 1) ≡
≡ T1(0, 3) oppure T2(4/5, 7/5)
C) Decidere: ci sono due tangenti
* PT1 ≡ y = 3
* PT2 ≡ y = (4*x + 1)/3
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29276) P(0, 0); Γ ≡ x^2 + y^2 - 2*x - 10*y + 13 = 0
A) Sdoppiare: p ≡ 0*x + 0*y - 2*(x + 0)/2 - 10*(y + 0)/2 + 13 = 0 ≡ y = (13 - x)/5
B) Intersecare: p & Γ ≡ (y = (13 - x)/5) & ((x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 13) ≡
≡ T1(- 2, 3) oppure T2(3, 2)
C) Decidere: ci sono due tangenti
* PT1 ≡ y = - (3/2)*x
* PT2 ≡ y = + (2/3)*x
che stanno ad angolo retto.
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NOTA
Ci vuole un po' a capire l'algoritmo; ma, una volta capito, gli esercizi si svolgono in un battibaleno e senza il rischio (come in altri metodi) di trascurare le eventuali tangenti parallele all'asse y.

Impongo che la distanza del centro della circonferenza dalle rette del fascio proprio di centro O sia uguale al raggio della circonferenza.

(x-1)² +(y-5)² = 13

Quindi:

C(1:5) , R=radice (13)

Il fascio di rette proprio di centro O è y=mx

Condizione di tangenza:

Distanza centro - fascio = R  =>

=> |5 - m|/radice (1+m²) = radice (13)

13m²+13 = (5-m)²

6m²+5m-6=0

6m² + 9m - 4m - 6=0

(3m-2)(2m+3)=0

Quindi: m=2/3  ; m= - 3/2

Sostituendo i valori del parametro m nel fascio determino le equazioni delle due rette tangenti. 

Le rette sono quindi: y= 2x/3 , y= - 3x/2

@mica

di nuovo. Ormai il metodo dovresti conoscerlo. Quindi:

{x^2 + y^2 - 2·x - 10·y + 13 = 0

{y = m·x

sostituzione

x^2 + (m·x)^2 - 2·x - 10·(m·x) + 13 = 0

x^2·(m^2 + 1) - x·(10·m + 2) + 13 = 0

condizione tangenza: Δ = 0

(10·m + 2)^2 - 4·13·(m^2 + 1) = 0

48·m^2 + 40·m - 48 = 0

6·m^2 + 5·m - 6 = 0

m = 2/3 ∨ m = - 3/2

rette:

y = 2/3·x  , y = - 3·x/2