[Risolto] Geometria analitica

@mica

Ciao, benvenuto/a

Equazione cartesiana circonferenza: x^2 + (y - 2)^2 = 1

Fascio di rette proprio condotte da P: y - 3 = m·(x - 2)-----> y = m·x - 2·m + 3

Si mette a sistema con la circonferenza e per sostituzione si ottiene:

x^2 + ((m·x - 2·m + 3) - 2)^2 = 1

Svolgendo i conti:

x^2·(m^2 + 1) + 2·m·x·(1 - 2·m) + (4·m^2 - 4·m) = 0

Imponendo la condizione di tangenza:Δ/4 = 0

m^2·(1 - 2·m)^2 - (m^2 + 1)·(4·m^2 - 4·m) = 0

e svolgendo i conti si ottiene:  4·m - 3·m^2 = 0 quindi due rette:

m = 4/3 ∨ m = 0------> y = 4/3·x - 2·(4/3) + 3-----> y = 4·x/3 + 1/3

y = 0·x - 2·0 + 3--------> y = 3

La circonferenza ha equazione x^2 + (y - 2)^2 = 1

e le rette per P   hanno equazione   y - 3 = m (x - 2) oppure x = 2

Siccome 2^2 + 1^2 = 5 e non 1 il punto P non é sulla circonferenza => ci saranno due

tangenti

Essendo y - 2 = mx - 2m + 1

la risolvente é    x^2 + (mx - 2m + 1)^2 - 1 = 0

x^2 + m^2 x^2 + 4m^2 - 4 m^2 x - 4m + 2mx = 0

(1 + m^2) x^2 - 2m (2m - 1) x + 4m (m - 1) = 0

D/4 = 0 => condizione di tangenza

m^2 (2m - 1)^2 - 4m (m - 1)(m^2 + 1) = 0

m^2 (4m^2 - 4m + 1) - (4m^2 - 4m)(m^2 + 1 ) = 0

 4m^4 - 4m^3 + m^2

-4m^4 + 4m^3 - 4m^2 + 4m = 0

-------------------------------------------

                       - 3m^2 + 4m = 0

m = 0 V 3m = 4 => m = 4/3

Sostituendo si ha y = 3    V y = 3 + 4/3 (x - 2) =>  y = 4/3 x + 1/3

Verifica grafica :

https://www.desmos.com/calculator/k6hz9egovo

I tuoi due esercizi (www.sosmatematica.it/forum/postid/29270 e .../postid/29276) sono diverse istanze dello stesso problema.
------------------------------
Trova, se esistono, le equazioni delle rette per il punto P(u, v), tangenti alla conica di equazione
* Γ ≡ f(x, y) = 0
------------------------------
Problema che si risolve in tre passi: sdoppiare, intersecare, decidere.
---------------
A) Sdoppiare
La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla cònica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciàndone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
---------------
B) Intersecare
Il sistema "p & Γ" può non avere soluzioni reali, averne una doppia o due distinte.
---------------
C) Decidere
* zero intersezioni reali → p esterna e P interno a Γ.
* una doppia → p tangente Γ nel punto P.
* due distinte → p secante Γ nei punti T1 e T2, P esterno a Γ.
In quest'ultimo caso le tangenti richieste sono le congiungenti PT1 e PT2.
==============================
I TUOI ESERCIZI
------------------------------
29270) P(2, 3); Γ ≡ (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 1^2 ≡ x^2 + y^2 - 4*y + 3 = 0
A) Sdoppiare: p ≡ 2*x + 3*y - 4*(y + 3)/2 + 3 = 0 ≡ y = 3 - 2*x
B) Intersecare: p & Γ ≡ (y = 3 - 2*x) & (x^2 + (y - 2)^2 = 1) ≡
≡ T1(0, 3) oppure T2(4/5, 7/5)
C) Decidere: ci sono due tangenti
* PT1 ≡ y = 3
* PT2 ≡ y = (4*x + 1)/3
------------------------------
29276) P(0, 0); Γ ≡ x^2 + y^2 - 2*x - 10*y + 13 = 0
A) Sdoppiare: p ≡ 0*x + 0*y - 2*(x + 0)/2 - 10*(y + 0)/2 + 13 = 0 ≡ y = (13 - x)/5
B) Intersecare: p & Γ ≡ (y = (13 - x)/5) & ((x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 13) ≡
≡ T1(- 2, 3) oppure T2(3, 2)
C) Decidere: ci sono due tangenti
* PT1 ≡ y = - (3/2)*x
* PT2 ≡ y = + (2/3)*x
che stanno ad angolo retto.
==============================
NOTA
Ci vuole un po' a capire l'algoritmo; ma, una volta capito, gli esercizi si svolgono in un battibaleno e senza il rischio (come in altri metodi) di trascurare le eventuali tangenti parallele all'asse y.