[Risolto] Geometria analitica

@simoonax

Ciao. Devi considerare il sistema:

{x^2 + y^2 = 5

{y = - 2·x + q (generica retta parallela a quella data)

Risolvo con il metodo della sostituzione:

x^2 + (- 2·x + q)^2 = 5

x^2 + (4·x^2 - 4·q·x + q^2) - 5 = 0

5·x^2 - 4·q·x + (q^2 - 5) = 0

Applico le condizioni di tangenza:

Δ/4 = 0

(- 2·q)^2 - 5·(q^2 - 5) = 0

4·q^2 - (5·q^2 - 25) = 0

25 - q^2 = 0

risolvo:

q = -5 ∨ q = 5

a cui corrispondono le rette tangenti: y = - 2·x - 5  v y = - 2·x + 5

Ciao.

Metodo alternativo.

Le rette tangenti sono perpendicolari al raggio r che unisce il punto di tangenza al centro della circonferenza. Sfruttiamo questa proprietà per determinare l'equazione delle due tangenti.

• Determiniamo le coordinate dei punti di tangenza.

-) Le rette tangenti hanno equazione di tipo y=-2x+q.

-) Il coefficiente angolare delle ortogonale vale m=1/2 infatti m*(-2) = -1.

-) La retta s: ortogonale alle retta tangenti passante per l'origine ha equazione y = x/2

-) Le coordinate dei punti di tangenza A e B si ottengono risolvendo il sistema retta s:, circonferenza

{y = x/2

{x²+y²=5

La soluzioni sono (x=2 & y=1) V (x=-2 & y=-1) per cui

A(2,1); B(-2,-1)

• Equazione delle rette tangenti

Sono le due rette del tipo  y=-2x+q passanti per A e per B

-) Passante per A(2,1)

1 = -2*2+q ⇒ q = 5 la retta tangente ha equazione y = -2x+5

-) Passante per B(-2,-1)

-1 = 2*2+q ⇒ q = -5 la retta tangente ha equazione y = -2x-5

La circonferenza
* x^2 + y^2 = 5
ha centro nell'origine e raggio r = √5.
Tutte le parallele alla retta data hanno la forma
* t(q) ≡ y = q - 2*x ≡ 2*x + y - q = 0
distanti dall'origine
* d(q) = q/√5
che è pari al raggio per q = ± 5.
Quindi la richiesta coppia di tangenti è
* {2*x + y + 5 = 0, 2*x + y - 5 = 0} ≡
≡ (2*x + y + 5)*(2*x + y - 5) = 0 ≡
≡ 4*x^2 + 4*x*y + y^2 - 25 = 0
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%5E2%3D5-x%5E2%2C-25%3D-4*x%5E2-4*x*y-y%5E2%5D