[Risolto] GEOMETRIA ANALITICA

{2·x - 2·y + 3·z + 6 = 0

{y = 0

{z = 0

Risolvo ed ottengo: [x = -3 ∧ y = 0 ∧ z = 0]

[-3, 0, 0] vertice A

{2·x - 2·y + 3·z + 6 = 0

{x = 0

{z = 0

Risolvo ed ottengo: [x = 0 ∧ y = 3 ∧ z = 0]

[0, 3, 0] vertice B

{2·x - 2·y + 3·z + 6 = 0

{x = 0

{y = 0

Risolvo ed ottengo:[x = 0 ∧ y = 0 ∧ z = -2]

[0, 0, -2] vertice C

Vertice della piramide V (0,0,0)

Volume:

V= 1/3·4.5·2 = 3u^3

(u= unità di misura)

2x - 2y + 3z + 6 = 0

asse x : y = z = 0 => 2x + 6 = 0 => x = -3

A = (-3,0,0)

asse y : x = z = 0 => -2y + 6 = 0 => y = 3

B = (0,3,0)

asse z : x = y = 0 => 3z + 6 = 0 => z = -2

Se poniamo la base nel piano xy che contiene O A B

allora h = |-2| = 2 e h/3 = 2/3

V = Sb h/3 = Sb * 2/3

Sb = 1/2 | (B - O) x (A - O) | =

= 1/2 | 3j x (-3 i) | = 9/2 | k | = 9/2

V = 9/2 * 2/3 = 3 unità cubiche.

\[2x - 2y + 3z + 6 = 0 \:\Bigg|_{\substack{y = z = 0}} \implies x = -3 \mid P_1 = \vec{v}_1 = (-3,0,0)\]

\[2x - 2y + 3z + 6 = 0 \:\Bigg|_{\substack{x = z = 0}} \implies y = 3 \mid P_2 = \vec{v}_2 = (0,3,0)\]

\[2x - 2y + 3z + 6 = 0 \:\Bigg|_{\substack{x = y = 0}} \implies z = -2 \mid P_3 = \vec{v}_3 = (0,0,-2)\,.\]

\[V = \frac{1}{6}|\vec{v}_1 \cdot (\vec{v}_2 \times \vec{v}_3)| \mid \vec{v}_2 \times \vec{v}_3 = \det\begin{pmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} = (-6,0,0) \implies\]

\[V = \frac{1}{6} \cdot |18| = 3 \quad \text{unita' cubiche}\,.\]

Il piano
* 2*x - 2*y + 3*z + 6 = 0 ≡ 2*x - 2*y + 3*z = - 6
interseca gli assi in
* X(- 3, 0, 0), Y(0, 3, 0), Z(0, 0, - 2)
da intendere come punte di tre vettori incoccati in O(0, 0, 0)
* OX = X - O = (- 3, 0, 0)
* OY = Y - O = (0, 3, 0)
* OZ = Z - O = (0, 0, - 2)
il modulo del prodotto triplo (doppio prodotto misto) dei quali
* |(- 3, 0, 0) × (0, 3, 0).(0, 0, - 2)| = 18
è il sestuplo del volume del tetraedro che li ha come spigolo, quindi il valore richiesto è tre.