[Risolto] Geometria analitica

Foto dritta!!

Circonferenza passante per l'origine (c=0):

{x^2 + y^2 + a·x + b·y = 0

{y = 2·x - 6 (retta tangente ad essa)

Lavorando per sostituzione :

x^2 + (2·x - 6)^2 + a·x + b·(2·x - 6) = 0

si arriva ad un'equazione di 2° grado nei parametri a e b:

5·x^2 + x·(a + 2·b - 24) - 6·b + 36 = 0

ad essa si applica la condizione di tangenza:

Δ = 0

(a + 2·b - 24)^2 - 4·5·(36 - 6·b) = 0

a^2 + a·(4·b - 48) + 4·(b^2 + 6·b - 36) = 0

che mettiamo a sistema con:

{a^2 + a·(4·b - 48) + 4·(b^2 + 6·b - 36) = 0

{ABS(a) = 2·ABS(b)

La seconda significa:  a = - 2·b ∨ a = 2·b

Quindi vengono sostituite nella prima:

a = - 2·b:

(- 2·b)^2 + (- 2·b)·(4·b - 48) + 4·(b^2 + 6·b - 36) = 0

120·b - 144 = 0----> b = 6/5 ; a = - 2·6/5---> a = - 12/5

a = 2·b:

(2·b)^2 + (2·b)·(4·b - 48) + 4·(b^2 + 6·b - 36) = 0

16·b^2 - 72·b - 144 = 0

b = - 3/2 ∨ b = 6

b = - 3/2; a = 2·(- 3/2)-----> a = -3

b=6; a = 2·6----> a = 12

In definitiva 3 circonferenze:

[a = -3 ∧ b = - 3/2, a = 12 ∧ b = 6, a = - 12/5 ∧ b = 6/5]

Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
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Ogni circonferenza per l'origine ha q = a^2 + b^2 (r = |OC|, OC è il raggio vettore del centro).
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = a^2 + b^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - 2*a*x - 2*b*y = 0
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* (x*y = 0) & (x^2 + y^2 - 2*a*x - 2*b*y = 0) ≡
≡ O(0, 0) ∪ Y(0, 2*b) ∪ X(2*a, 0)
"che individuano sull'asse x un segmento di misura doppia di quello individuato sull'asse y" ≡
≡ a = 2*b
* Γ(b) ≡ x^2 + y^2 - 4*b*x - 2*b*y = 0 ≡
≡ (x - 2*b)^2 + (y - b)^2 = 5*b^2
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Ogni circonferenza tangente la retta
* t ≡ y = 2*x - 6
deve avere pari a zero il discriminante della
* (x - 2*b)^2 + (2*x - 6 - b)^2 - 5*b^2 = 0
cioè
* Δ(b) = 64*(b + 3)*(b - 3/4) = 0 ≡
≡ (b = - 3) ∪ (b = 3/4)
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Quindi da
* Γ(b) ≡ (x - 2*b)^2 + (y - b)^2 = 5*b^2
si hanno
* Γ(- 3) ≡ (x + 6)^2 + (y + 3)^2 = 45
* Γ(3/4) ≡ (x - 3/2)^2 + (y - 3/4)^2 = 45/16
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%282*x-6-y%29*x*y%3D0%2C%28x--6%29%5E2--%28y--3%29%5E2%3D45%2C%28x-3%2F2%29%5E2--%28y-3%2F4%29%5E2%3D45%2F16%5D