[Risolto] Geometria analitica

x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 passa per A

0^2 + 1^2 + b + c = 0

c = - b - 1

x^2 + (x + 1)^2 + ax + b(x + 1) - b - 1 = 0

deve avere D = 0

2x^2 + 2x + ax + bx + 1 + b - b - 1 = 0

2x^2 + (a + b + 2) x = 0

D = 0 => a + b + 2 = 0 => b = -a - 2

e c = a + 2 - 1 = a + 1

x^2 + y^2 + ax - (a+2)y + a+1 = 0

deve essere poi tangente a y = - x - 4

x^2 + (-x-4)^2 + ax + (a+2)(x+4) + a + 1 = 0

deve avere a sua volta D = 0

x^2 + x^2 + 8x + 16 + ax + ax + 4a + 2x + 8 + a + 1 = 0

2x^2 + 2ax + 10x + 5a + 25 = 0

2x^2 + 2(a + 5)x + 5(a + 5) = 0

(a+5)^2 - 10(a+5) = 0

(a+5) (a + 5-10) = 0

a = - 5 V a = 5

Se a = -5, b = 5 - 2 = 3 e c = -3 -1 = -4

x^2 + y^2 - 5x + 3y - 4 = 0

Se a = 5 allora b = -5 - 2 = -7 e c = 7 -1 = 6

e troviamo x^2 + y^2 + 5x - 7y + 6 = 0

Ogni circonferenza Γ tangente la retta r ≡ y = x + 1, di pendenza m = 1, ha il centro C su una retta p di pendenza m' = - 1, perpendicolare ad r e raggio R la distanza fra C e il punto di tangenza.
Quella per A(0, 1) è p ≡ y = 1 - x, quindi C(k, 1 - k) da cui
* |AC| = R = (√2)*|k|
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (1 - k))^2 = ((√2)*|k|)^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - 2*y + 1 - 2*k*(x - y + 1) = 0
Inoltre R, per la richiesta tangenza alla retta
* t ≡ y = - x - 4
deve eguagliare anche la distanza
* |Ct| = R = 5/√2 = (√2)*|k|
da cui
* k = ± 5/2
* Γ(- 5/2) ≡ (x + 5/2)^2 + (y - 7/2)^2 = 25/2
* Γ(+ 5/2) ≡ (x - 5/2)^2 + (y + 3/2)^2 = 25/2
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%5E2-x%5E2-5*x-4%3D-3*y%2C%28x%5E2--y%5E2%29%5E2-4*%28x%5E2--y%5E2%29*y-50*x--46*y-24%3D23*x%5E2-50*x*y--19*y%5E2%5D