Una parabola passante per gli estremi di un diametro di una circonferenza di raggio $r$ ha le tangenti in tali punti perpendicolari tra loro e l'asse del diametro come asse di simmetria. Scrivi, in un sistema di assi cartesiani opportunamente scelto, le equazioni della parabola e della circonferenza e calcola le aree delle regioni finite di piano delimitate dalle due curve.
Problema 14, grazie.
125
punti
Livello 1
Se due rette tangenti la medesima parabola sono ortogonali esse s'intersecano sulla direttrice.
Avendo presente tale proprietà io penso che la procedura risolutiva più semplice sia l'inversa di quella suggerita.
Inizio con la più semplice delle parabole
* Γ ≡ y = x^2 ≡ x^2 - y = 0
con direttrice y = - 1/4 che interseca l'asse in H(0, - 1/4).
La retta polare p del polo H rispetto a Γ è
* p ≡ x*0 - (y - 1/4)/2 = 0 ≡ y = 1/4
che interseca Γ in A(- 1/2, 1/4) e in B(1/2, 1/4).
La circonferenza di diametro AB è
* Γc ≡ x^2 + (y - 1/4)^2 = 1/4
e le tangenti sono
* AH ≡ y = - x - 1/4
* BH ≡ y = x - 1/4
Vedi al link http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3Dx%5E2%2C%28y-1%2F4%29%5E2%3D1%2F4-x%5E2%2C%28-x-1%2F4-y%29*%28x-1%2F4-y%29*%281%2F4-y%29*%28-y-1%2F4%29%3D0%5D
-----------------------------
A posteriori si vede che nella risoluzione ho posto r = 1/2.
---------------
Ah, le aree!
* semicirconferenza a = π*r^2/2 = π/8
* segmento parabolico retto b = (2/3)*2*r*r/2 = (2/3)*2*r*r/2 = 2*r^2/3 = 1/6
* "aree delle regioni ... due curve" a ± b
** area a forma di lunula c = a - b = π*r^2/2 - 2*r^2/3 = (3*π - 4)*r^2/6 = (3*π - 4)/24 ~= 0.226
** area a forma di tuorlo bazzotto d = a + b = π*r^2/2 + 2*r^2/3 = (3*π + 4)*r^2/6 = (3*π + 4)/24 ~= 0.559
57171
punti
Genius I
