Una parabola passante per $A$ e $B$ divide il triangolo $A B C$ in due parti equivalenti. Supposto $A B C$ equilatero di lato $3 \mathrm{~cm}$ e l'asse della parabola perpendicolare al segmento $A B$, in un conveniente sistema di riferimento, determina
a. le coordinate di $A, B$ e $C$;
b. l'equazione della parabola;
c. l'equazione della circonferenza inscritta nel triangolo $A B C$.
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Livello 1
Triangolo ABC
[- 3/2, 0] punto A
[ 3/2, 0] punto B
[0, 3/2·√3] punto C
Α(ABC) = 1/2·3·(3/2·√3)-----> Α(ABC) = 9·√3/4 area triangolo equilatero
Parabola
Α = 1/2·(9·√3/4)----> Α = 9·√3/8 = area segmento parabolico
(interna al triangolo equilatero)
equazione della parabola:
y = a·x^2 + β
il vertice ha coordinate: [0, β] con 0 < β < 3/2·√3
Quindi :
Α = 2/3·3·β = 9·√3/8
(area del segmento è 2/3 dell'area del rettangolo in cui esso è inscritto)
Quindi: β = 9·√3/16
per cui: y = a·x^2 + 9·√3/16
La parabola passa per B:
0 = a·(3/2)^2 + 9·√3/16
0 = 9·a/4 + 9·√3/16-----> a = - √3/4
Equazione parabola: y = 9·√3/16 - √3·x^2/4
Verifico con integrale definito tra x=-3/2 ed x=3/2:
∫(9·√3/16 - √3·x^2/4)dx = 9·√3/8
Circonferenza circoscritta
x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0
{(- 3/2)^2 + 0^2 + a·(- 3/2) + b·0 + c = 0
{(3/2)^2 + 0^2 + a·(3/2) + b·0 + c = 0
{0^2 + (3/2·√3)^2 + a·0 + b·(3/2·√3) + c = 0
Quindi risolvo:
{3·a/2 - c = 9/4
{3·a/2 + c = - 9/4
{3·√3·b/2 + c = - 27/4
ed ottengo: [ a = 0 ∧ b = - √3 ∧ c = - 9/4 ]
x^2 + y^2 - √3·y - 9/4 = 0
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Genius II
