[Risolto] Geometria analitica

(k - 1)·x + 3·y + 5 - k = 0

{3·x - 2·y - 6 = 0

{y = 0

Risolvo: [x = 2 ∧ y = 0]

(k - 1)·2 + 3·0 + 5 - k = 0

k + 3 = 0-----> k = -3

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{3·x - 2·y - 6 = 0

{x = 0

Risolvo: [x = 0 ∧ y = -3]

(k - 1)·0 + 3·(-3) + 5 - k = 0

-k - 4 = 0---> k = -4

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Determino asse del segmento

[-2, 1]

[4, 3]

[x, y]

(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = (x - 4)^2 + (y - 3)^2

x^2 + 4·x + y^2 - 2·y + 5 = x^2 - 8·x + y^2 - 6·y + 25

12·x + 4·y - 20 = 0------> y = 5 - 3·x  

m = -3

Esplicito y dal fascio: y = x·(1 - k)/3 + (k - 5)/3

(1 - k)/3 = -3----> k = 10

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Analogo al precedente: m = 1/3

(1 - k)/3 = 1/3-------> k = 0

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{y = x·(1 - k)/3 + (k - 5)/3

{x = 0

Deve essere: (k - 5)/3 < 0----> k < 5

{y = x·(1 - k)/3 + (k - 5)/3

{x = 2

Quindi: [x = 2 ∧ y = - (k + 3)/3]

Deve essere:  - (k + 3)/3 < 0-----> k > -3

Metto a sistema le due soluzioni trovate in grassetto ed ottengo la soluzione del punto in esame:

[-3 < k < 5]

L'esercizio chiede di considerare il fascio proprio di rette
* r(k) ≡ (k - 1)*x + 3*y + (5 - k) = 0 ≡ y = (k - 5)/3 - ((k - 1)/3)*x
centrato in C(1, - 4/3) e privo della retta x = 1 in quanto il coefficiente di y non è parametrico.
La generica retta r(k) ha
* pendenza m(k) = (1 - k)/3
* intercetta q(k) = (k - 5)/3
L'esercizio chiede poi di individuare i valori del parametro che generano rette con particolari proprietà, quattro delle quali riguardano:
1) le intersezioni X(2, 0) e Y(0, - 3) degli assi coordinati con la retta 3*x - 2*y - 6 = 0;
2) le pendenze
2a) m = 1/3 del segmento AB di estremi A(- 2, 1) e B(4, 3), giacente sulla y = (x + 5)/3
2b) m' = - 1/m = - 3 dell'asse del segmento AB.
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Risposte ai quesiti
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a) per X(2, 0): 0 = (k - 5)/3 - ((k - 1)/3)*2 ≡ k = - 3
b) per Y(0, - 3): - 3 = (k - 5)/3 - ((k - 1)/3)*0 ≡ k = - 4
c) di pendenza m' = - 3: m(k) = (1 - k)/3 = - 3 ≡ k = 10
d) di pendenza m = 1/3: m(k) = (1 - k)/3 = 1/3 ≡ k = 0
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e) Qui serve qualche passaggio in più.
Il complesso "sia l'asse y sia la retta di equazione x = 2" è la parabola degenere
* x*(x - 2) = 0
che, a sistema con la generica r(k), dà le intersezioni di cui si chiede l'ordinata negativa
* (y = (k - 5)/3 - ((k - 1)/3)*x) & (x*(x - 2) = 0) ≡
≡ (y = (k - 5)/3 - ((k - 1)/3)*x) & (x = 0) oppure (y = (k - 5)/3 - ((k - 1)/3)*x) & (x = 2) ≡
≡ P(0, (k - 5)/3) oppure Q(2, - (k + 3)/3)
quindi la richiesta vale
* ((k - 5)/3 < 0) & (- (k + 3)/3 < 0) ≡
≡ (k < 5) & (k > - 3) ≡
≡ - 3 < k < 5