Area parte colorata triangolo rettangolo isoscele

ABC è un triangolo rettangolo isoscele. Quindi: AB=AC=20 cm

Anche il triangolo rettangolo APQ è isoscele in quanto l'angolo in P è corrispondente all'angolo in B

(si ha PQ//BC)

Quindi i due triangoli rettangoli sono SIMILI

BC=20·√2 in cm e PQ=x·√2 .

Poi CM = BC/2 =10·√2 e PQ=x·√2 sono le basi del trapezio colorato!

Facendo riferimento alla figura allegata, il trapezio QPMC ha le seguenti coordinate:

Q(0,x)

P(x,0)

M(10,10)

C(0,20)

Q(0,x)

calcolo l'area:

A=1/2·ABS(0·0 + x·10 + 10·20 + 0·x - (0·20 + 0·10 + 10·0 + x·x)) = 88

(metodo dell'allacciamento delle scarpe)

1/2·ABS(- x^2 + 10·x + 200) = 88

elevo al quadrato

(- x^2 + 10·x + 200)^2 - 176^2 = 0

((- x^2 + 10·x + 200) + 176)·((- x^2 + 10·x + 200) - 176) = 0

- x^2 + 10·x + 376 = 0------> x = 5 - √401 ∨ x = √401 + 5 NON ACCETTABILI!

- x^2 + 10·x + 24 = 0-------> x = 12 ∨ x = -2

Quindi AP=12 cm

Sappiamo che ABC è isoscele (angolo in B^ di 45° implica angolo in C^ di 45°) ; quindi AB = AC = 20 cm e per Pitagora BC = 2MB = 2MC = sqrt(20² + 20²) =20 sqrt2.

h = MB/sqrt2 = 20/2 = 10 cm (anche BMH è mezzo quadrato ... la sua  Sbmh = S/4= 50cm² = h²/2)

La parte colorata Scol (trapezio) è pari all'area S del triangolo ABC meno quella S' del simile APQ e meno quella S'' di PBM.

S = AB *AC / 2 =20*20/2 = 200 cm²
S' = x*x /2 = x²/2 cm²
S'' = PB * h /2 = (20-x)*10/2 = 100 -5x cm²

Scol = S - S' - S" = 200 -x²/2 +5x -100 = 88 cm²

le soluzioni sono -2 (da scartare perchè x > 0) e 12 cm { ok!  col testo}

SVOLGIMENTO eq2°...

200 -x²/2 +5x -100 = 88  ---> x² -10x - 24 = 0 

x1,2 = (5 +- sqrt(25 + 24))/1 = ---> x1 = -2  , x2 = 12

Indichiamo il segmento AP=x e il segmento PB=AB-x=20-x

Il triangolo ABC è rettangolo isoscele (presenta due lati congruenti AB=AC=20 poiché ha una terna d'angoli 90°-45°-45°), dunque la sua area A=AB*AC/2= 200 cm^2

Il segmento PQ è parallelo al segmento CB, dunque forma lo stesso angolo rispetto alla base del triangolo per il teorema di Talete. Anche il triangolo APQ è rettangolo isoscele, quindi la sua area è A=x^2/2 (in quanto il segmento AP è congruente al segmento AQ)

L'altezza MH del triangolo PBM è congruente a metà del cateto, dunque MH=10 cm. L'area del triangolo PBM è data, allora, da A=(20 cm-x)*10cm/2

L'area del quadrilatero CQPM è data da A=(200 cm^2)-(x^2/2)-[(20 cm-x)*10cm/2]=88 cm^2

Risolvendo l'equazione in x, trovi la lunghezza di AP. Le radici dell'equazione di secondo grado sono x=-2 cm  e  x=12 cm: bisogna scartare il valore negativo, in quanto non esiste una lunghezza negativa. Il valore positivo, invece, è accettabile, in quanto minore della lunghezza del cateto (12<20).

Spero di essere stato abbastanza chiaro e d'aiuto. 😉 

la risposta nella tabella sottostante che mostra come tale area varia al variare di AP 

si ha il massimo (112,5) per AP = 5 

Unità di misura: lunghezza, cm; superficie, cm^2.
LUNGHEZZE (N punto medio di QP)
* L = |AB| = |AC| = 20 (lato del semiquadrato G grande fisso)
* x = |AP| = |AQ| (lato del semiquadrato p piccolo variabile)
* a = |AM| = |BM| = |MC| = 10*√2 (lato di BMP; altezza di G)
* b = |BP| = 20 - x (lato di BMP)
* c = |AN| = x*√2/2 (altezza di p)
* h = |MN| = a - c = 10*√2 - x*√2/2 = (20 - x)/√2 (altezza di BPQC)
* D = |BC| = 20*√2 (diagonale di G; base maggiore di BPQC)
* d = |PQ| = x*√2 (diagonale di p; base minore di BPQC)
SUPERFICIE
* S(BMP) = a*b*sin(45°)/2 = ((10*√2)*(20 - x)*1/√2)/2 = 5*(20 - x) (semimodulo di a×b)
* S(BPQC) = h*(D + d)/2 = ((20 - x)/√2)*(20*√2 + x*√2)/2 = 200 - x^2/2 (trapezio)
* S(CMPQ) = S(BPQC) - S(BMP) = y = f(x) = 200 - x^2/2 - 5*(20 - x) = (- x^2 + 10*x + 200)/2 (Area parte colorata)
RISOLUZIONE
* ((- x^2 + 10*x + 200)/2 = 88) & (x > 0) ≡
≡ (- x^2 + 10*x + 200 = 176) & (x > 0) ≡
≡ (- x^2 + 10*x + 200 - 176 = 0) & (x > 0) ≡
≡ (x^2 - 10*x - 24 = 0) & (x > 0) ≡
≡ ((x = - 2) oppure (x = 12)) & (x > 0) ≡
≡ x = 12

Qui è una storia infinita. Bisognerebbe mettere qualcuno che dica: "Big Ben ha detto STOP!).

Non si finisce più con il dare delle risposte!

Mia ulteriore risposta.

Osserviamo che il quadrilatero PQCM è un trapezio che ha:

Base1= CM= 10·√2

Base 2=AP=x·√2

Altezza h=AB/√2-AP/√2=(20-x)/√2

Area=(Base1+Base2)/2*h=(10+x)√2/2*(20-x)/√2

Quindi si dovrà scrivere:

(10+x)(20-x)/2=88 che fornisce soluzione x = 12 ∨ x = -2 di cui quella negativa si scarta.

Ciao e buona notte al secchio!