Buongiorno, come si svolge il seguente esercizio? grazie in anticipo!
Fra tutte le sfere passanti per la circonferenza
$$c:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}-9=0 \\ 2 x+4 y+4 z-9=0\end{array}\right.$$
, determinare quelle di raggio pari a $3 \sqrt{3}$.
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Livello 2
Ti espongo un possibile ragionamento.
La circonferenza é data per intersezione fra la sfera di centro O e raggio 3 ed un piano alfa.
La distanza d di O da alfa é
d = | 2*0 + 4*0 + 4*0 - 9 |/sqrt (4 + 4 + 16) = 9/sqrt(36) = 9/6 = 3/2
per il Teorema di Pitagora il raggio della circonferenza é
rc = sqrt (3^2 - (3/2)^2) = sqrt ( 9 - 9/4 ) = sqrt (27/4) = 3/2 sqrt(3).
I centri delle sfere cercate si devono trovare sulla retta perpendicolare ad alfa e passante
per O, che ha equazioni
x = 2t
y = 4t
z = 2t
oppure
x = t, y = 2t, z = 2t dato che t é qualunque in R
Dobbiamo imporre che la distanza del centro (t,2t,2t) da alfa sia
sqrt [ (3 sqrt(3))^2 - (3/2 sqrt(3))^2 ] = sqrt (27 - 27/4) = sqrt(81/4) = 9/2
per cui |2t + 4*2t + 4*2t - 9|/sqrt(4 + 16 + 16) = 9/2
|18 t - 9|/6 = 9/2
|6t - 3|/2 = 9/2
|2t - 1| = 3
2t = 1 +- 3
t = -1 V t = 2
Per avere le equazioni delle sfere i centri sono (-1,-2,-2) e (2,4,4)
(x + 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 = (3 sqrt(3))^2 = 27
(x - 2)^2 + ( y - 4)^2 + (z - 4)^2 = (3 sqrt(3))^2 = 27
e lascio a te il compito di riscriverle in forma normale.
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Livello 7
Come è spiegato a pag. 5 della dispensa
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Genius I
