[Risolto] Geometria

Se chiamo $x$ la diagonale minore allora la diagonale maggiore vale $\dfrac{55}{48}x$.

L'area di un rombo (che è l'area di base del prisma) è data dal prodotto delle diagonali diviso 2:  $A_{b} \, = \, \dfrac{x \cdot \frac{55}{48}x}{2} \, = \, \dfrac{\frac{55}{48}x^{2}}{2}$

$\dfrac{96}{55}A_{b} \, = \, x^{2}$

$92,16 \, cm^{2} \, = \, x^{2}$

$x \, = \, 9,6 \, cm$

$\dfrac{55}{48}x \, = \, 11 \, cm$

Le due diagonali misurano rispettivamente $9,6 \, cm$ e $11 \, cm$.

Il lato del rombo si può ricavare col teorema di Pitagora usando come cateti le due semidiagonali:

$l \, = \, \sqrt{\Bigl(\dfrac{9,6}{2}\Bigr)^{2} + \Bigl(\dfrac{11}{2}\Bigr)^{2}} \, = \, 7,3 \, cm$

Il perimetro di base vale $7,3 \, cm \cdot 4 \, = \, 29,2 \, cm$

Conoscendo l'area totale del prisma, le aree di base e il perimetro di base posso ricavare l'altezza del prisma:

Prima calcolo l'area laterale, $A_{l} \, = \, A_{tot} - 2A_{b} \, = 704,2 \, cm^{2} - 105,6 \, cm^{2} \, = \, 598,6 \, cm^{2}$

Divido l'area laterale per il perimetro di base per trovare il valore dell'altezza: $h \, = \, \dfrac{598,6 \, cm^{2}}{29,2 \, cm} \, = \, 20,5 \, cm$

Il volume del prisma vale $A_{b} \cdot h \, = \, 52,8 \, cm^{2} \cdot 20,5 \, cm \, = \,1082,4 \, cm^{3}$.