Geometria 3a media: Area Segmento circolare

DATI

α = 120°

Ac = 1296*pi

Svolgimento

A partire dalla formula dell'area del cerchio ricaviamo il raggio:

A = r^2*pi   --> r = radice_quadrata(Ac/pi)

r = radice_quadrata(129*pi/pi) = 36 cm

Area Segmento Circolare è data:

A_segmento = A_settore - A_triangolo

Calcoliamo Area Settore:

A_settore = (r^2*pi*α)/360 = (36^2*3,14*120)/360 = 1356,48 cm2

A_triangolo = r^2*f     con f = 0,433

A_triangolo = 36^2*0,433 = 561,168 cm2

A_segmento = A_settore - A_triangolo = 1356,48 - 561,168 = 795,312 cm2

Se fai un bel disegno in iscala (cerchio di centro O e raggio r, due raggi OP e OQ a 120° per delimitare il settore, corda PQ per delimitare il segmento, H punto medio di PQ, HO distanza di PQ da O) ti accorgi che i triangoli congruenti OHP e OHQ sono due metà di un triangolo equilatero di lato r (e quindi di area T = (√3/4)*r^2).
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Vale la proporzione
* areaSettore/areaCerchio = angoloSettore/angoloGiro ≡
≡ S/(1296*π) = 120/360 ≡
≡ S = 432*π
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La richiesta "area di un segmento circolare che ..." è la differenza
* A = S - T = 432*π - (√3/4)*r^2 =
= 432*π - (√3/4)*1296*π/π =
= 108*(4*π - 3*√3) ~= 795.98356 ~= 795.984 cm^2
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L'errore del risultato atteso, presumibilmente dovuto alla propagazione di approssimazioni troppo precoci,
* δA = ΔA/A = 1 + 1841/(250 (3*√3 - 4*π)) ~= 0.0008
è inferiore all'un per mille e del tutto tollerabile.

Calcola l’area di un segmento circolare che corrisponde ad un angolo di 120° sapendo che l’area del cerchio è 1296 Pi greco cm quadrati.

Il risultato 795,312 cm quadrati.

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Raggio del cerchio $r= \sqrt{\dfrac{A}{\pi}} = \sqrt{dfrac{1296\cancel{\pi}}{\cancel{\pi}}} = \sqrt{1296} = 36\,cm;$

corda $C= 2·r·sen\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) = 2·36·sen\left(\dfrac{120°}{2}\right) = 72·sen(60°) = 36\sqrt3\,cm;$

distanza della corda dal centro:

$h= \sqrt{r^2-\left(\dfrac{C}{2}\right)^2} = \sqrt{36^2-\left(\dfrac{36\sqrt3}{2}\right)^2} = \sqrt{36^2-(18\sqrt3)^2} = 18\,cm;$

area del segmento circolare:

$A= \dfrac{r^2·\pi·\alpha}{360°}-\dfrac{1}{2}·C·h $

$A= \dfrac{36^2·\pi·120}{360}-\dfrac{1}{2}·36\sqrt3·18 $

$A= \dfrac{1296·\pi·\cancel{120}^1}{\cancel{360}_3}-\dfrac{1}{\cancel2_1}·\cancel{36}^{18}\sqrt3·18 $

$A= \dfrac{\cancel{1296}^{432}·\pi}{\cancel3_1}-18\sqrt3·18$

$A= 432\pi-561,184462$

$A\approx{795,984}\,cm^2$ (risultato più preciso).

Oppure con approssimazioni su $\sqrt{}$ e $\pi$:

$A= \dfrac{36^2×3,14×120}{360}-\dfrac{1}{2}×36\sqrt3×18$

$A= 1356,48-18×1,732×18$

$A= 1356,48-561,168$

$A= 795,312\,cm^2$ (risultato approssimato).