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Geometria

  

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188) Dal baricentro $G$ del triangolo $A B C$ traccia la parallela al lato $A B$, che incontra $A C$ in $P$ e $B C$ in Q. Determina il rapporto tra l'area di $A B C$ e l'area del trapezio $A B Q P$.

189) Un triangolo isoscele $A B C$ ha base $A B=12 cm$ e lato obliquo $A C=10 cm$. Traccia una parallela alla base che interseca i lati obliqui nei punti $E$ e $F$, in modo che il trapezio $A B E F$ sia equivalente al triplo del triangolo $E F C$. Sia $O$ il punto di intersezione delle diagonali del trapezio. Calcola:
a. il perimetro di $E F C$;
b. il rapporto tra il perimetro di $E F O$ e il perimetro di $A B O$.
a $16 cm$; b) $\left.\frac{1}{2}\right]$

20220518 121053
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@Bisacciamarika04

189)

IMG 20220728 150105
Screenshot 20220728 153318

 

Essendo l'area del trapezio ABEF il triplo dell'area del triangolo CEF, possiamo scrivere che:

A(CEF) + 3*A(CEF) = A(ABC) 

Quindi:

 

A(ABC) = 4*A(CEF)

Essendo i triangoli ABC e CEF simili (tre angoli congruenti), possiamo dire che il rapporto di similitudine k risulta essere:

K= radice [A(ABC) /A(CEF)] = radice (4) = 2

 

Essendo il rapporto di similitudine 2, allora:

EF= AB/2 = 12/2 = 6cm

CF = CE = AC/2 = 10/2 = 5cm

 

Quindi il perimetro del triangolo ECF è:

2p(ECF) = 6+5+5 = 16 cm

 

DOMANDA 2)

I triangoli AOB ed EFO sono simili in quanto hanno i tre angoli ordinatamente congruenti (gli angoli in O congruenti in quanto opposti al vertice, gli angoli alla base congruenti in quanto alterni interni poiché FE//AB). 

Essendo FE= (1/2)*AB possiamo dire che il rapporto di similitudine è k=1/2 e quindi tale è anche il rapporto tra i perimetri. 

 

 

 



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@bisacciamarika04

Ciao di nuovo.

Ti faccio il n° 188. Per il secondo, se ho tempo e voglia risponderò in altro momento. Al riguardo vedi anche:

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

Con riferimento alla figura allegata si sa che la mediana EC il baricentro si trova sulla stessa in modo tale che: EG/EC=1/3 cioè si trova ad 1/3 della mediana stessa relativa ad AB. Ora, il Teorema di Talete stabilisce che tale rapporto valga anche per l'altezza del trapezio ABQP e l'altezza di tutto il triangolo ABC.

Quindi l'altezza del trapezio sarà pari all'altezza di tutto il triangolo diviso 3. Quindi le due altezze sono

h/3 per il trapezio ed h per il triangolo.

Detto questo stabiliamo ora cos valga la base minore del trapezio PQ. A tal fine scriviamo B la base maggiore e b la base minore. La variazione di base a partire da B  è una variazione lineare del tipo:

b = Β - α·y con il coefficiente angolare determinabile da

y=h: b=0------> 0 = Β - α·h-----> α = Β/h

Quindi: per y=h/3------- b = Β - Β/h·(h/3)-----> b = 2·Β/3

Area triangolo ABC=1/2*B*h

Area trapezio ABPQ =1/2*(B+2·Β/3)*h/3

Quindi facendo il rapporto si ottiene:

Β·h/((Β + 2·Β/3)·h/3) = 9/5

image

 

 



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