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Geometria

  

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Sia ABCD un parallelogramma. Traccia l'altezza DE relativa ad AB e l'altezza BH relativa ad AD. Dimostra che il quadrilatero avente come vertici i punti D, H, E e B è inscrivibole in una circonferenza e il centro della circonferenza circoscritta è il punto di intersezione delle diagonali del parallelogramma.


 

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Nella figura allegata di sopra ho indicato il punto di intersezione tra le diagonali con F.

È ovvio che DFBF perché F è il punto medio delle diagonali dato che questo è un parallelogramma, in altre parole, se dovessi disegnare una circonferenza di raggio FB, e di centro F allora anche DF sarebbe un raggio della circonferenza perché ha la stessa lunghezza di FB, in  definitiva il punto D appartiene alla circonferenza di raggio DFBF, in altre parole DB è un diametro di questa circonferenza. Per dimostrare che anche i punti H e E appartengono alla circonferenza possiamo servirci di un corollario del teorema dell'angolo al centro[1], ovvero che se un punto appartiene ad una circonferenza, allora il triangolo che ha come ipotenusa il diametro della circonferenza e come cateti le corde con estremo comune nel suddetto punto e gli estremi del diametro è un triangolo rettangolo. Per costruzione, DE è l'altezza relativa alla base AB, quindi l'angolo BED^ è un angolo retto, allo stesso modo, l'angolo DHB^  è retto per costruzione dato che HB rappresenta l'altezza relativa ad AD, entrambi i triangoli hanno come ipotenusa DB e sono retti nel corrispettivo terzo punto, allora entrambi i punti E, H appartengono alla circonferenza di raggio FB, di conseguenza il quadrilatero DHEB è inscritto in tale circonferenza.

c.v.d.

[1] Teorema dell'angolo al centro: 

Considerato un angolo alla circonferenza θ, l'esplementare del suo corrispondente angolo al centro è il doppio di θ.



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SOS Matematica

4.6
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