Geometria

Punto 1: Dimostra che AC è perpendicolare a BO

Consideriamo una circonferenza con centro $O$. Le corde $AB$ e $BC$ sono congruenti, cioè $AB=BC$.

1. Simmetria: Poiché $AB=BC$, la figura che otteniamo è simmetrica rispetto alla retta $OB$, che è l'asse di simmetria della figura. Questo perché, in un cerchio, se due corde sono congruenti e si incontrano in un punto (in questo caso $B$), la retta che le collega al centro (in questo caso $O$) è perpendicolare alla bisettrice della corda.

2. Perpendicularità: La simmetria della figura implica che $AC$ sia perpendicolare a $OB$. Infatti, la perpendicolare al segmento $OB$ che passa per il punto medio di $AB$ (ovvero, il punto $C$) deve essere perpendicolare alla retta $BO$, concludendo che $AC\perp BO$.

Punto 2: Dimostra che i triangoli $ADM$ e $CEN$ sono congruenti

1. Dati: I punti $M$ e $N$ sono i punti medi rispettivamente delle corde $AB$ e $BC$. La retta $MN$ interseca la circonferenza nei punti $D$ (dell'arco $AB$) e $E$ (dell'arco $BC$).

2. Congruenza delle corde: Poiché $AB=BC$, anche i segmenti $AM=MB$ e $CN=NB$, essendo $M$ e $N$ i punti medi delle corde.

3. Angoli:

   • L'angolo $\angle ADM$ è uguale all'angolo $\angle CEN$ per la simmetria rispetto alla retta $OB$, in quanto $AD$ e $CE$ sono simmetriche rispetto a $OB$.
   • Inoltre, gli angoli $\angle DMA$ e $\angle ENC$ sono congruenti per la stessa ragione.

4. Congruenza dei Triangoli:

   • I triangoli $ADM$ e $CEN$ hanno due lati congruenti e l'angolo compreso congruente, quindi per il criterio di congruenza dei triangoli (Lato-Angolo-Lato), i due triangoli sono congruenti:

   $$△ADM\cong △CEN.$$

Conclusione:

1. $AC$ è perpendicolare a $BO$ come richiesto.
2. I triangoli $ADM$ e $CEN$ sono congruenti come mostrato