Geometria

1. Disegno delle due circonferenze

• Disegnamo due circonferenze, C1\mathcal{C}_1C1​ e C2\mathcal{C}_2C2​, con i centri $O$ e O′O'O′ rispettivamente, in modo che si intersechino nei punti $C$ e $D$.
• Le circonferenze si intersecano quindi nei punti $C$ e $D$, ovvero $C$ e $D$ appartengono a entrambe le circonferenze.

2. Congiungere i centri $O$ e O′O'O′

• Tracciamo il segmento OO′OO'OO′ che congiunge i centri delle due circonferenze.

3. Determinare il punto medio $M$ del segmento OO′OO'OO′

• Il punto medio $M$ di OO′OO'OO′ è il punto tale che OM=O′MOM = O'MOM=O′M. Questo punto sarà importante in seguito per costruire la retta che interseca le circonferenze nei punti $A$ e $B$.

4. Tracciare la retta per $C$ perpendicolare a $CM$

• Costruiamo la retta per $C$ che sia perpendicolare alla retta $CM$. Per la proprietà delle rette perpendicolari in una geometria euclidea, questa retta avrà una direzione ben definita.

5. Determinare i punti di intersezione $A$ e $B$

• La retta perpendicolare da $C$ alla retta $CM$ interseca le due circonferenze in due punti: chiamiamoli $A$ e $B$. Quindi, $A$ e $B$ sono i punti in cui la retta perpendicolare passa attraverso le due circonferenze.

6. Dimostrare che le corde $AC$ e $BC$ sono congruenti

• Ora dobbiamo dimostrare che le corde $AC$ e $BC$ sono congruenti, cioè che $AC=BC$.

  Per farlo, possiamo utilizzare il teorema della perpendicolare che passa per il punto $C$ e interseca la retta OO′OO'OO′ nel punto medio $M$. Dato che la retta perpendicolare passante per $C$ è simmetrica rispetto al segmento OO′OO'OO′, le distanze da $C$ ai punti $A$ e $B$ devono essere uguali, poiché la simmetria rispetto alla retta $CM$ comporta che le corde siano congruenti.

  In altre parole, i punti $A$ e $B$ sono equidistanti dal punto $C$, e quindi $AC=BC$.

Conclusione

Le corde $AC$ e $BC$ sono congruenti per simmetria rispetto alla retta $CM$.