Geometria

1. Congruenza dei triangoli ACQ e CBP:

* Consideriamo i triangoli rettangoli AHC e BKC:

   * Hanno l'ipotenusa AC = BC (essendo ABC isoscele)

   * Hanno un cateto congruente (AH = BK per costruzione)

   * Quindi sono congruenti per il quarto criterio di congruenza dei triangoli rettangoli (un cateto e l'ipotenusa congruenti).

* Da questa congruenza deduciamo che ∠HAC = ∠KBC.

* Ora consideriamo i triangoli ACQ e CBP:

   * AC = BC (ipotesi)

   * ∠CAQ = ∠CBQ (perché ∠CAQ = ∠HAC = ∠KBC = ∠CBQ)

   * AQ = BP (per costruzione, AQ = AH + HQ = BK + KQ = BP)

   * Quindi i triangoli ACQ e CBP sono congruenti per il primo criterio di congruenza (un lato e due angoli adiacenti congruenti).

2. Triangolo TPQ isoscele:

* Dalla congruenza dei triangoli ACQ e CBP deduciamo che CQ = BP.

* Nei triangoli TPQ e TQP:

   * TQ = TP (segmenti comuni)

   * PQ = QP (segmenti comuni)

   * CQ = BP (dimostrato prima)

   * Quindi i triangoli TPQ e TQP sono congruenti per il terzo criterio di congruenza (tre lati congruenti).

* Essendo congruenti, i triangoli TPQ e TQP hanno tutti gli angoli congruenti, quindi il triangolo TPQ è isoscele sulla base PQ.

3. CT bisettrice di ACB:

* Dalla congruenza dei triangoli ACQ e CBP deduciamo che ∠ACQ = ∠BCP.

* Essendo CT un lato comune ai triangoli ACQ e CBP, e avendo questi due triangoli due lati e l'angolo compreso congruenti, possiamo affermare che CT è la bisettrice dell'angolo ACB.

In conclusione:

Abbiamo dimostrato che i triangoli ACQ e CBP sono congruenti, che il triangolo TPQ è isoscele e che CT è la bisettrice dell'angolo ACB. Questo risultato è stato ottenuto sfruttando le proprietà dei triangoli isosceli, le congruenze tra triangoli e le proprietà delle bisettrici.