[Risolto] Geometria: 1º e 2º teorema di Euclide

Applica il 1° teorema di Euclide come segue:

Ipotenusa $= \frac{12^2}{9,6} = \frac{144}{9,6} = 15~dm$;

proiezione altro cateto $= 15-9,6 = 5,4~dm$;

altro cateto $= \sqrt{15×5,4} = \sqrt{81} = 9~dm$;

perimetro $= 12+15+9 = 36~dm$.

In un triangolo rettangolo il c2 cateto e la sua proiezione sull'ipotenusa p2 misurano rispettivamente 12 dm e 9,6 dm. Calcola il perimetro del triangolo.

Noti p2 e c2 , si ricava h con Pitagora :

h = √c2^2-p2^2 = √12^2-9,6^2) = 7,20 cm 

Noti h e p2 , si ricava p1 con Euclide (h medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa i) :

p1/h = h/p2

p1 = h^2/p2 = 7,20^2/9,6  = 5,40 cm 

Noti p1 e p2 , si calcola i facendone la somma :

i = p1+p2 = 9,60+5,40 = 15,0 cm 

Noti i e c2 , si ricava c1 con Pitagora :

c1 = √i^2-c2^2 = √15^2-12^2) = 3√5^2-4^2 = 3*3 = 9,0 cm 

in alternativa a Pitagora si può nuovamente usare Euclide (c1 = √i*p1)

c1 = √(15*5,4) = √81 = 9,0 cm 

...ed infine :

perimetro 2p = c1+c2+i = 9+12+15 = 36 cm 

....stavolta  la calcolatrice ci vuole

MISURE DEL TRIANGOLO RETTANGOLO
ipotenusa c e relativa altezza h; cateti (a, b) e relative proiezioni (s, t).
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TEOREMI SUL TRIANGOLO RETTANGOLO
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Pitagora: il quadrato dell'ipotenusa è la somma dei quadrati dei cateti ≡
≡ c^2 = a^2 + b^2; b^2 = t^2 + h^2; a^2 = s^2 + h^2.
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Euclide I: il cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione e l'ipotenusa ≡
≡ a^2 = s*c; b^2 = t*c.
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Euclide II: l'altezza è medio proporzionale tra le proiezioni ≡
≡ h^2 = s*t.
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ESERCIZIO SVOLTO SOLO CON EUCLIDE, SENZA PITAGORA.
Dati
* a = 12 dm = 120 cm
* s = 9,6 dm = 96 cm
si ha
Euclide I: a^2 = s*c ≡ c = a^2/s = 120^2/96 = 150 cm
* t = c - s = 150 - 96 = 54 cm
Euclide I: b^2 = t*c ≡ b = √(t*c) = √(54*150) = 90 cm
perimetro p = a + b + c = 120 + 90 + 150 = 360 cm = 36 dm

In un triangolo rettangolo i cateti misurano rispettivamente 23 cm e 18 cm calcola la lunghezza dell'ipotenusa