[Risolto] Geometria: 1º e 2º teorema di Euclide (problemi)

In un triangolo rettangolo il cateto c1 e l'altezza h relativa all'ipotenusa misurano rispettivamente 60 cm e 48 cm. Calcola il perimetro 2p del triangolo.

Noti h e c1 , si ricava p1 con Pitagora :

p1 = √c1^2-h^2 = 12√5^2-4^2) = 12*√9 = 12*3 = 36 cm 

Noti h e p1 , si ricava p2 con Euclide (h medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa i) :

p1/h = h/p2

p2 = h^2/p1 = 48^2/36 = 4^2*12^2 / (3*12) = 4^2*4 = 4^3 = 64 cm 

Noti p1 e p2 , si calcola i facendone la somma :

i = p1+p2 = 36+64 = 100 cm 

Noti i e c1 , si ricava c2 con Pitagora :

c2 = √i^2-c1^2 = 10√10^2-6^2) = 10*√64 = 10*8 = 80 cm 

in alternativa a Pitagora si può nuovamente usare Euclide (c2 = √i*p2)

c2 = √(100*64) = √100 * √64 = 10*8 = 80 cm 

...ed infine :

perimetro 2p = c1+c2+i = 60+80+100 = 240 cm 

....il tutto senza bisogno di usare la calcolatrice 😉

Proiezione cateto $= \sqrt{60^2-48^2} = \sqrt{3600-2304} = \sqrt{1296} = 36~cm$ (teorema di Pitagora);

ipotenusa $= \frac{60^2}{36} = \frac{3600}{36} = 100~cm$ (1° teorema di Euclide);

proiezione altro cateto $= 100-36 = 64~cm$;

altro cateto $= \sqrt{100×64} = \sqrt{6400} = 82~cm$ (1° teorema di Euclide);

perimetro $= 60+100+80 = 240~cm$.

MISURE DEL TRIANGOLO RETTANGOLO
ipotenusa c e relativa altezza h; cateti (a, b) e relative proiezioni (s, t).
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TEOREMI SUL TRIANGOLO RETTANGOLO
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Pitagora: il quadrato dell'ipotenusa è la somma dei quadrati dei cateti ≡
≡ c^2 = a^2 + b^2; b^2 = t^2 + h^2; a^2 = s^2 + h^2.
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Euclide I: il cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione e l'ipotenusa ≡
≡ a^2 = s*c; b^2 = t*c.
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Euclide II: l'altezza è medio proporzionale tra le proiezioni ≡
≡ h^2 = s*t.
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ESERCIZIO SVOLTO SOLO CON EUCLIDE, SENZA PITAGORA.
Dati
* a = 60 cm
* h = 48 cm
si ha
Euclide I: c = a^2/s = 60^2/s = 3600/s cm
* t = c - s = 3600/s - s = (60 + s)*(60 - s)/s cm
Euclide II: h^2 = s*t ≡ 48^2 = s*(3600/s - s) ≡
≡ s = 36 cm
da cui
* c = 3600/s = 3600/36 = 100 cm
* t = c - s = 100 - 36 = 64 cm
Euclide I: b^2 = t*c ≡ b = √(t*c) = √(64*100) = 80 cm
perimetro p = a + b + c = 60 + 80 + 100 = 240 cm = 24 dm