Dato il vettore $\vec{u}(1,2,-1)$, si sa che il vettore $\vec{v}$ è tale che $\vec{u} \times \vec{v}=\overrightarrow{0}$ e $|\vec{v}|=6$. Determina le componenti di $\vec{v}$.
$$
\left[\overrightarrow{v_1}(\sqrt{6}, 2 \sqrt{6},-\sqrt{6}), \overrightarrow{v_2}(-\sqrt{6},-2 \sqrt{6}, \sqrt{6})\right]
$$
L'esercizio è il 48, a me viene (4;4;2)
89
punti
Livello 1
5973
punti
Livello 6
Bisogna tenere conto di 2 cose:
a) prodotto vettoriale che origina un vettore nullo
b) Il secondo vettore ha modulo 6
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[1, 2, -1] è il vettore u
[x, y, z] è il vettore v incognito
Il vettore w che è il prodotto vettoriale dei due vettori si ottiene dal determinante:
|i.....J......k|
|1....2....-1|
|x.....y....z|
w= i·(y + 2·z) - j·(x + z) + k·(y - 2·x)
essendo i, j, k i versori del vettore w. Se si vuole che il vettore w sia un vettore nullo, devono essere nulle tutte e tre le componenti di tale vettore (sistema):
{y + 2·z = 0
{x + z = 0
{y - 2·x = 0
che fornisce soluzione: [x = -z ∧ y = - 2·z]
Se il modulo del vettore v ha misura pari a 6, significa che:
x^2 + y^2 + z^2 = 6^2
(-z)^2 + (- 2·z)^2 + z^2 = 6^2
6·z^2 = 36-------> z = - √6 ∨ z = √6
da cui la possibilità di avere due vettori:
[√6, 2·√6, - √6]----> v1
[- √6, - 2·√6, √6]----> v2
90141
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Genius II
Poiché
\[\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \implies \vec{u} \parallel \vec{v} \therefore \vec{v} = k\vec{u} = k(1,2,-1)\,.\]
Dato
\[|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} = 6 \:\Bigg|_{\substack{\vec{v} = k(1,2,-1)}} \implies\]
\[|k(1,2,-1)| = \sqrt{(k)^2 + 4k^2 + k^2} = 6 \iff \sqrt{6k^2} = 6 \iff |k| = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \implies\]
\[k = \sqrt{6} \lor k = -\sqrt{6}\,.\]
Allora le componenti del vettore $\vec{v}$ sono
\[\vec{v}_1 = (\sqrt{6}, 2\sqrt{6}, -\sqrt{6}) \qquad \vec{v}_2 = (-\sqrt{6}, -2\sqrt{6}, +\sqrt{6})\,.\]
3531
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Livello 5
