Dimostra che in un parallelogramma ABCD due vertici opposti sono equidistanti dalla diagonale che congiunge gli altri due vertici.
Dimostra che in un parallelogramma ABCD due vertici opposti sono equidistanti dalla diagonale che congiunge gli altri due vertici.
Ciao!
Consideriamo il seguente parallelogramma
Sappiamo che ha lati congruenti a coppie, quindi $AB =DC$ e $AD = BC$.
Inoltre ha angolo opposti congruenti, quindi $\hat{B} = \hat{D}$ e $\hat{A} = \hat{C}$.
Consideriamo la diagonale $AC$. Essa divide il parallelogramma in due triangoli $ADC$ e $ABC$. Essi hanno: lati congruenti per ipotesi di parallelogramma e l'angolo tra essi compreso congruente sempre perché è un parallelogramma.
(Oppure: hanno tre lati congruenti, due a coppie e uno in comune, quindi sono congruenti per il terzo principio)
Allora $ABC$ e $ADC$ sono triangoli congruenti per il 1° principio di congruenza.
Essendo congruenti hanno la stessa altezza, che corrisponde alla distanza dai vertici, rispettivamente $B$ per il primo e $D$ per il secondo, dalla base, che è in comune ai due triangoli ed è $AC$. Quindi l'altezza dei triangoli coincide con la distanza dei vertici opposti dalla diagonale, di conseguenza essendo i triangoli congruenti lo sono le altezze, da qui la tesi.