geometria

Quest'esercizio pone due problemi da risolvere in cascata perché i risultati del primo sono fra i dati del secondo.
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Il primo problema è di algebra e si esprime col sistema
* (x + y = s) & (x = k*y) & (s > 0) & (0 < k < 1) =
= (x = k*s/(k + 1)) & (y = s/(k + 1))
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Con (k = 8/9) & (s = 119 cm) si hanno le lunghezze delle due corde
* (x = (8/9)*119/(8/9 + 1) = 56 cm) & (y = 119/(8/9 + 1) = 63 cm)
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Il secondo problema è di geometria e si risolve rammentando e applicando due diverse nozioni pregresse: che l'area S del trapezio è il prodotto fra l'altezza h e la media delle basi; e che nella circonferenza vale la relazione pitagorica r^2 = d^2 + (c/2)^2 fra le lunghezze r del raggio, c della corda e d della distanza fra corda e centro. Ai fini di quest'esercizio interessa la forma
* d(c) = √((2*r)^2 - c^2)/2
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Per le corde (x, y) si ha
* S = h*(x + y)/2
e, poiché sono "situate da parti opposte rispetto al centro",
* h = d(x) + d(y) = (√((2*r)^2 - x^2) + √((2*r)^2 - y^2))/2
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Con (2*r = 65 cm) & (x = 56 cm) & (y = 63 cm) si ha
* S = h*(x + y)/2 = (119/2)*(√(65^2 - 56^2) + √(65^2 - 63^2))/2 =
= 5831/4 = 1457.75 cm^2 = 14.5775 dm^2

Due corde AB e CD, parallele e situate da parti opposte rispetto al centro di una circonferenza, sono tali che la loro somma misura 119 cm e una è 8/9 dell'altra. Se il diametro della circonferenza misura 65 cm, qual è l'area del trapezio ABCD, espressa in decimetri quadrati?

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Raggio $r= \dfrac{d}{2} = \dfrac{65}{2} = 32,5~cm$;

corda $AB= \dfrac{119}{8+9}×8 = \dfrac{119}{17}×8 = 7×8 = 56~cm$;

corda $CD= \dfrac{119}{8+9}×9 = \dfrac{119}{17}×9 = 7×9 = 63~cm$;

altezza trapezio $h= \sqrt{32,5^2-\big(\frac{56}{2}\big)^2} + \sqrt{32,5^2-\big(\frac{63}{2}\big)^2} = 16,5+8 = 24,5~cm$;

area trapezio $A= \dfrac{(63+56)×24,5}{2}= \dfrac{119×24,5}{2} = 1457,75~cm^2$;

area espressa in decimetri quadri:

$A= 1457,75×10^{-2} = 14,5775~dm^2~(appross.a~≅ 14,58~dm^2)$.

Due corde AB e CD, parallele e situate da parti opposte rispetto al centro di una circonferenza, sono tali che la loro somma misura 119 cm e una è 8/9 dell'altra. Se il diametro della circonferenza misura 65 cm, qual è l'area del trapezio ABCD, espressa in decimetri quadrati?

AB+8AB/9 = 17AB/9 = 119 cm

AB = 63 cm

CD = 56 cm 

OK = √32,5^2-31,5^2 = 8,0 cm

OH = √32,5^2-28^2 = 16,50 cm

altezza HK = 24,50 cm

area ABCD = (119*24,50)/2 = 1.457,750 cm^2 = 14,5775 dm^2