[Risolto] Geometria

Il giro completo delle lancette corrisponde ad un angolo giro di 360°.

La lancetta delle ore per fare un giro completo impiega 12 ore;

360° in 12 ore;

12 h = 12 * 60 = 720 minuti; giro completo di 360°;

in 20 minuti  si sposta di un piccolo angolo alfa, facciamo la proporzione:

360° : 720 = alfa : 20;

alfa = 360° * 20 / 720 = 10°; (la lancetta delle ore percorre un angolo di 10°);

C = 2 * 3,14 * r;

il raggio della circonferenza è 2,4 cm;

C = 2 * 3,14 * 2,4 = 15,072 cm;

x : 10° = 15,072 : 360°;

x = 15,072 * 10° / 360° = 0,42 cm; arco percorso dalla lancetta delle ore.

Per la lancetta dei minuti:

La circonferenza percorsa dalla lancetta lunga 3 cm è data da:

C1 = 2 * 3,14 * r1; (il raggio è 3 cm);

C1 = 6,28 * 3 = 18,84 cm;

20/60 = 1/3 di giro per la lancetta dei minuti.

angolo = 360° / 3 = 120°;

x : 120 ° = 18,84 : 360°;

x = 18,84 * 120° / 360° = 18,84 * 1/3 = 6,28 cm; arco della lancetta dei minuti.

Ciao @caffe

In 1h la lancetta delle ore sottende un angolo al centro di ampiezza 30 gradi. In 20 minuti = (1/3)*h sottende un angolo al centro di ampiezza 10° pari a 1/36 dell'angolo giro.

Quindi:

L= (1/36)*(2*pi*R) = (1/18)*pi*2,4 =~ 0,42 cm

Oppure dalla definizione di radiante 

alfa = L/R

L= R*alfa = 2,4 * (1/3)*(pi/16) =~ 0,42 cm

Siano $\omega_{1} = \dfrac{2\pi}{T_{1}}$ e $\omega_{2} = \dfrac{2\pi}{T_{2}}$ le rispettive velocità angolari delle lancette delle ore e dei minuti. Esse rappresentano l'angolo $\theta$ percorso nell'unità di tempo. Supponendo che tali quantità siano costanti, le lancette si ritrovano a percorrere di nuovo la stessa traiettoria con le stesse modalità cinematiche.

Assumendo $\theta_{0} =0$, dopo $t = 20 \ \text{min} =20 \ (60 \ s) = 1200 \ s$, si ha:

$\theta_{1}(t) =\omega_{1}t \space \space$ e $\space \space \theta_{2}(t) =\omega_{2}t$

Pertanto,

$l_{1} =r_{1}\theta_{1}(t) \space \space$ e $\space \space l_{2} =r_{2}\theta_{2}(t)$