Considera un triangolo ABC inscritto in una circonferenza di diametro CD. Indica con P l'interesezione fra CD e AB e con Q e R le proiezioni di P su AC e su BC. Dimostra che AB e QR sono paralleli.
Considera un triangolo ABC inscritto in una circonferenza di diametro CD. Indica con P l'interesezione fra CD e AB e con Q e R le proiezioni di P su AC e su BC. Dimostra che AB e QR sono paralleli.
68
punti
Livello 1
Gli angoli ACD e ABD insistono sullo stesso arco AB e sono quindi congruenti (in verde in figura)
Essendo CDB un triangolo inscritto in una semicirconferenza (CD è diametro), è rettangolo in B.
Dunque l'angolo PBC è supplementare di ABD.
Il triangolo QCP è rettangolo per ipotesi in Q.
Dunque l'angolo QPC è supplementare di ACD.
Ma ACD=ABD dunque anche PBC=QCP perché supplementari di angoli congruenti (in rosso in figura).
Notiamo ora che il quadrilatero QPRC ha gli angoli Q ed R retti e dunque supplementari, ciò significa che è inscrivibile in una circonferenza.
Ma allora gli angoli QPC e QRC insistono sullo stesso arco QC e sono dunque congruenti.
Dunque PBC=QCP=QRC e per transitività PBC=QRC.
Ma PBC e QRC sono angoli corrispondenti congruenti tra le rette QR e AB che sono pertanto parallele.
Noemi
9874
punti
Livello 5