[Risolto] geometria

Vedi figura:

Sia ABC un triangolo rettangolo in A e siano AM la mediana relativa a BC e MH e MK le al tezze dei triangoli ABM e ACM. Dimostra che:
a. MH e MK sono perpendicolari;
b. i triangoli CMK e BMH sono congruenti;
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Sappiamo che il triangolo ABC è rettangolo in A (i due cateti AB e AC sono tra loro perpendicolari).
Avendo tracciato le altezze MH ed MK esse sono per definizione perpendicolari ai rispettivi cateti che incontrano e cioè MH ⊥ AB e MK ⊥ AC.
Ora essendo AB ⊥ AC anche i segmenti MH ed MK sono perpendicolari tra di loro e formano il rettangolo AHMK.
Inoltre essendo MK ⊥ AC ==> MK // AB cioè MK ed AB sono paralleli.
Consideriamo ora le rette parallele AB e MK tagliate dalla trasversale BC; per il teorema di Talete gli angolo ACB e BMH sono congruenti.
Consideriamo ora i due triangoli CMK e BMH essi hanno CM=BM per costruzione (M punto medio di BC) poi hanno l'angolo ACB = all'angolo BMH pertanto per il III criterio di congruenza dei triangoli rettangoli che dice che: "Se due triangoli rettangoli hanno l’ipotenusa e un angolo acuto congruenti allora sono congruenti",  abbiamo dimostrato anche il punto b.

I segmenti MH e MK sono perpendicolari per costruzione in quanto tracciati ortogonalmente ai segmenti AB e AC perpendicolari per definizione di "rettangolo in A".
I triangoli CMK e BMH sono congruenti in quanto hanno |BM| = |MC| per definizione di "mediana", e gli angoli omologhi di eguale ampiezza in quanto individuati dalla trasversale BC sulle coppie di parallele (AB, MK) e (AC, MH).