[Risolto] Geometria

L'ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 27,5 cm e i cateti sono uno 4/3 dell'altro. Sapendo che il perimetro è 66 cm, calcola le misure delle proiezioni del cateti sull'ipotenusa e la misura dell'altezza a essa relativa.

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Somma dei cateti $C+c= 2p-ip = 66-27,5 = 38,5~cm$;

conoscendo la somma e il rapporto tra i cateti puoi calcolare come segue:

cateto maggiore $C= \dfrac{38,5}{4+3}×4 = \dfrac{38,5}{7}×4 = 22~cm$;

cateto minore $c= \dfrac{38,5}{4+3}×3 = \dfrac{38,5}{7}×3 = 16,5~cm$;

quindi:

proiezione cateto minore $pc= \dfrac{c^2}{ip} = \dfrac{16,5^2}{27,5} = 9,9~cm$ $(1° teorema ~di~ Euclide)$;

proiezione cateto maggiore $pC= ip-pc = 27,5-9,9 = 17,6~cm$;

altezza relativa all'ipotenusa $h= \sqrt{pC·pc} = \sqrt{17,6×9,9} = 13,2~cm$ $(2° teorema ~di~ Euclide)$.

Il triangolo primitivo è dato dalla terna ordinata: (3,4,5) in cm

Quello derivato in studio ha rapporto di similitudine:

k=27.5/5 = 5.5

In definitiva ha le dimensioni:

5.5(3,4,5)=(16.5;22;27.5) in cm

1° Teorema di Euclide

Proiezioni dei cateti sull'ipotenusa:

x=16.5^2/27.5 = 9.9 cm

y=22^2/27.5 = 17.6

(9.9 + 17.6 = 27.5 cm ipotenusa )

2° Teorema di Euclide:

h=√(9.9·17.6) =  13.2 cm altezza relativa all'ipotenusa

Risolviamo senza teorema di Euclide.

Perimetro - ipotenusa = somma dei due cateti,

AB + AC = 66 - 27,5 = 38,5 cm;

AC = AB * 4/3;

AB = 3/3;

AC = 4/3;

Sommiamo le due frazioni:

3/3 + 4/3 = 7/3; corrisponde a 38,5 cm;

troviamo 1/3:

38,5 / 7 = 5,5 cm;

AB = 3/3;  AB = 3 * 5,5 = 16,5 cm; (cateto minore);

AC = 4/3; AC = 4 * 5,5 = 22 cm; (cateto maggiore);

Area triangolo = (cateto1) * (cateto2) / 2;

Area = 22 * 16,5 /2 = 181,5 cm^2;

h = Area * 2 / base; (come base prendiamo l'ipotenusa);

Troviamo AH, altezza relativa all'ipotenusa:

h = 181,5 * 2 / 27,5 = 13,2 cm;

Con 1° Euclide:

Un cateto è medio proporzionale fra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa:

27,5 : 22 = 22 : CH;

CH = = 22^2 / 27,5 = 17,6 cm; proiezione del cateto maggiore;

27,5 : 16,5 = 16,5 : HB;

HB = 16,5^2 / 27,5 = 9,9 cm; proiezione del cateto minore;

Con il 2° di Euclide si trova h relativa all'ipotenusa:

l'altezza è media proporzionale fra le due proiezioni:

CH : h = h : HB;

h^2 = CH * HB;

h = radicequadrata(17,6 * 9,9) = 13,2 cm. (Altezza relativa all'ipotenusa).

Ciao @lorenzo-imp

L'ipotenusa i di un triangolo rettangolo misura 27,5 cm e i cateti sono uno 4/3 dell'altro. Sapendo che il perimetro è 66 cm, calcola le misure delle proiezioni p2 e p1 del cateti sull'ipotenusa e la misura dell'altezza h ad essa relativa.

i+c1+4c1/3 = i+7c1/3 = 66

7c1/3 = 66-27,5 = 38,5

c1 = 38,5*3/7 = 16,50 cm

c2 = 16,50*4/3 = 22,0 cm 

p2 = c2^2/i = 22^2/27,5 = 17,60 cm

p1 = c1^2/i = 16,50^2/27,5 = 9,90 cm 

altezza h = c1*c2/i = 16,50*22/27,5 = 13,20 cm