[Risolto] Geometria 1

Indicando con x un cateto, l'altro sarà uguale a

sqrt(25b^2-x^2)

per il teorema di Pitagora.

L'area del triangolo è esprimibile come semiprodotto dei cateti, quindi

A=x*sqrt(25b^2-x^2) /2=6b^2

Elevando alla seconda membro a membro risulta

x^2*(25b^2-x^2)/4=36b^4

x^2*(25b^2-x^2)=144b^4

25b^2*x^2-x^4=144b^4

-x^4+25b^2*x^2-144b^4=0

Cambiando i segni

x^4-25b^2*x^2+144b^4=0

Si tratta di un'equazione biquadratica.

Ponendo y=x^2 si ha

y^2-25b^2*y+144b^4=0

y1=(25b^2-sqrt(625b^4-576b^4))/2=(25b^2-7b^2)/2=9b^2

y2=(25b^2+sqrt(625b^4-576b^4))/2=(25b^2+7b^2)/2=16b^2

Segue che:

x1=3b e l'altro cateto sqrt(25b^2-9b^2) =4b

x2=4b e l'altro cateto sqrt(25b^2-16b^2) =3b (coincide con la prima soluzione, solo con i cateti scambiati)

i^2 = 25b^2 = x^2b^2+y^2b^2 = b^2 (x^2+y^2) 

25 = x^2+y^2  (applicazione della terna pitagorica 3, 4, 5)

x = 4b

y = 3b 

check : area = (4*3/2)b^2 = 6b^2