Scrivi le equazioni delle parabole con asse verticale tangente all'asse $x$, alla retta di equazione $y=2 x$ e passanti per $P\left(-1, \frac{1}{4}\right) . \quad\left[y=x^2+x+\frac{1}{4} ; y=\frac{1}{4} x^2+x+1\right]$
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Scrivi le equazioni delle parabole con asse verticale tangente all'asse $x$, alla retta di equazione $y=2 x$ e passanti per $P\left(-1, \frac{1}{4}\right) . \quad\left[y=x^2+x+\frac{1}{4} ; y=\frac{1}{4} x^2+x+1\right]$
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Livello 1
Ogni parabola con asse parallelo all'asse y (NON 'verticale', per favore!), apertura a != 0 e vertice V(w, h) ha equazione della forma
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
e pendenza
* m(x) = 2*a*(x - w)
------------------------------
La condizione di tangere l'asse x, che quindi dev'essere tangente di vertice, impone h = 0 e
* Γ ≡ y = a*(x - w)^2
---------------
La condizione di passare per P(- 1, 1/4) impone il vincolo d'appartenenza
* 1/4 = a*(- 1 - w)^2 ≡ a = 1/(4*(w + 1)^2)
da cui
* Γ ≡ y = ((w - x)/(2*(w + 1)))^2
---------------
Il sistema fra la retta
* t ≡ y = 2*x
e la parabola Γ ha risolvente
* ((w - x)/(2*(w + 1)))^2 - 2*x = 0 ≡
≡ (x^2 - 2*(4*w^2 + 9*w + 4)*x + w^2 = 0) & (w != - 1)
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere nullo
* Δ(w) = 64*(w + 2)*(w + 1/2)*(w + 1)^2 = 0 ≡
≡ ((w = - 2) oppure (w = - 1) oppure (w = - 1/2)) & (w != - 1) ≡
≡ (w = - 2) oppure (w = - 1/2)
da cui
------------------------------
1) Per w = - 2
* a = 1/4
* Γ ≡ y = (x + 2)^2/4
---------------
2) Per w = - 1/2
* a = 1
* Γ ≡ y = (x + 1/2)^2
---------------
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y*%282*x-y%29%3D0%2C%28%28x--1%2F2%29%5E2-y%29*%28%28x--2%29%5E2%2F4-y%29%3D0%5D
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Il problema è già stato risolto:
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